I.6. Le cas non ramifié
159
dans Z(G)∩T
∗ (o
nr ). Mais Z(G)∩T
∗ (o
nr ) = Z(G)∩T (o
nr ). Le groupe T (o
nr ) étant
cohomologiquement trivial, on peut choisir τ ∈ T (o
nr ) tel que z(σ) = σ(τ )τ
−1 .
Alors τe ∈ ˜
G(F ). Puisque T (o
nr ) et T
∗ (o
nr ) sont tous deux inclus dans K
nr , on
a même τe ∈ ˜
K. Puisque k ∈ G 1 , la paire E est fixée par θ
∗ = ad e . Il en résulte
que ad τ e conserve (B, T ). Soit maintenant t ∈ T (o), posons γ = tτ e. Notons e
l’image de e ∈ Z( ˜
G, E) dans Z( ˜
G
), posons t
= ξ T,T (tτ ) et δ = t
e
. Il est clair
que δ ∈ ˜
G
(F ) et que (δ, B
, T
, B, T, γ) est un diagramme. Si t est en position
générale, γ est fortement régulier, donc (δ, γ) ∈ D(G
).
I.6.3 Facteur de transfert
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique non ramifiée de (G, ˜
G, a). Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . On dit qu’elles sont non ramifiées si
G
1 est non ramifié et le plongement ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 est l’identité sur I F . De telles
données existent. En fait
(1) on peut choisir G
1 = G
.
Preuve. On normalise l’action galoisienne sur ˆ
G et ˆ
G
en fixant des paires de Borel
épinglées de ces groupes et en imposant que les actions conservent ces paires.
Choisissons un Frobenius φ ∈ W F et un élément g φ ∈ G
agissant comme φ G sur
ˆ
G
. Alors G
est le produit semi-direct ( ˆ
G
× I F ) g
Z
φ . On définit une application
ˆ
ξ 1 : G
→
L G
par ˆ
ξ 1 ((x, w)g
n
φ ) = (x, wφ
n ) pour x ∈ ˆ
G
, w ∈ I F , n ∈ Z. C’est un
isomorphisme.
Supposons les données auxiliaires non ramifiées. De K
se déduit un sousgroupe compact hyperspécial K
1 de G
1 (F ). Choisissons un élément δ 1,0 ∈ ˜
G
1 (F )
dont l’image δ 0 dans ˜
G
(F ) appartient à ˜
K
. Alors ˜
K
1 = K
1 δ 1,0 est un sous-espace
hyperspécial de ˜
G
1 (F ). Ce sous-espace étant fixé, nous allons définir un facteur
de transfert Δ 1 sur D 1 .
On fixe g φ = (g(φ), φ) ∈ G
comme dans la preuve de (1) ci-dessus et un
élément g sc (φ) ∈ ˆ
G SC dont l’image dans ˆ
G AD est la même que celle de g(φ). Il
existe un unique cocycle w → g(w) de W F dans ˆ
G qui est non ramifié et tel que
g(φ) soit l’élément que l’on vient de fixer. De même, il existe un unique cocycle
w → g sc (w) de W F dans ˆ
G SC qui est non ramifié et tel que g sc (φ) soit l’élément
que l’on vient de fixer. Soit w → z(w) le cocycle de W F dans Z( ˆ
G) tel que
g(w) = z(w)π(g sc (w)). On a évidemment (g(w), w) ∈ G
pour tout w ∈ W F et on
pose ˆ
ξ 1 (g(w), w) = (ζ 1 (w), w). L’application ζ 1 est un cocycle de W F dans Z( ˆ
G
1 ).
Les cocycles z et ζ 1 déterminent des caractères λ z de G(F ) et λ ζ1 de G
1 (F ). Parce
que les cocycles sont non ramifiés, λ z est trivial sur K et λ ζ1 est trivial sur K
1
([79] 4.1(1)). Il existe donc une unique application ˜
λ z : ˜
G(F ) → C
× qui vaut 1
sur ˜
K et vérifie ˜
λ z (gγ) = λ z (g) ˜
λ z (γ) pour tous g ∈ G(F ) et γ ∈ ˜
G(F ). De même,
il existe une unique application ˜
λ ζ1 : ˜
G
1 (F ) → C
× qui vaut 1 sur ˜
K
1 et vérifie
˜
λ ζ1 (g 1 δ 1 ) = λ ζ1 (g 1 ) ˜
λ ζ1 (δ 1 ) pour tous g 1 ∈ G
1 (F ) et δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ).
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dans Z(G)∩T
∗ (o
nr ). Mais Z(G)∩T
∗ (o
nr ) = Z(G)∩T (o
nr ). Le groupe T (o
nr ) étant
cohomologiquement trivial, on peut choisir τ ∈ T (o
nr ) tel que z(σ) = σ(τ )τ
−1 .
Alors τe ∈ ˜
G(F ). Puisque T (o
nr ) et T
∗ (o
nr ) sont tous deux inclus dans K
nr , on
a même τe ∈ ˜
K. Puisque k ∈ G 1 , la paire E est fixée par θ
∗ = ad e . Il en résulte
que ad τ e conserve (B, T ). Soit maintenant t ∈ T (o), posons γ = tτ e. Notons e
l’image de e ∈ Z( ˜
G, E) dans Z( ˜
G
), posons t
= ξ T,T (tτ ) et δ = t
e
. Il est clair
que δ ∈ ˜
G
(F ) et que (δ, B
, T
, B, T, γ) est un diagramme. Si t est en position
générale, γ est fortement régulier, donc (δ, γ) ∈ D(G
).
I.6.3 Facteur de transfert
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique non ramifiée de (G, ˜
G, a). Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . On dit qu’elles sont non ramifiées si
G
1 est non ramifié et le plongement ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 est l’identité sur I F . De telles
données existent. En fait
(1) on peut choisir G
1 = G
.
Preuve. On normalise l’action galoisienne sur ˆ
G et ˆ
G
en fixant des paires de Borel
épinglées de ces groupes et en imposant que les actions conservent ces paires.
Choisissons un Frobenius φ ∈ W F et un élément g φ ∈ G
agissant comme φ G sur
ˆ
G
. Alors G
est le produit semi-direct ( ˆ
G
× I F ) g
Z
φ . On définit une application
ˆ
ξ 1 : G
→
L G
par ˆ
ξ 1 ((x, w)g
n
φ ) = (x, wφ
n ) pour x ∈ ˆ
G
, w ∈ I F , n ∈ Z. C’est un
isomorphisme.
Supposons les données auxiliaires non ramifiées. De K
se déduit un sousgroupe compact hyperspécial K
1 de G
1 (F ). Choisissons un élément δ 1,0 ∈ ˜
G
1 (F )
dont l’image δ 0 dans ˜
G
(F ) appartient à ˜
K
. Alors ˜
K
1 = K
1 δ 1,0 est un sous-espace
hyperspécial de ˜
G
1 (F ). Ce sous-espace étant fixé, nous allons définir un facteur
de transfert Δ 1 sur D 1 .
On fixe g φ = (g(φ), φ) ∈ G
comme dans la preuve de (1) ci-dessus et un
élément g sc (φ) ∈ ˆ
G SC dont l’image dans ˆ
G AD est la même que celle de g(φ). Il
existe un unique cocycle w → g(w) de W F dans ˆ
G qui est non ramifié et tel que
g(φ) soit l’élément que l’on vient de fixer. De même, il existe un unique cocycle
w → g sc (w) de W F dans ˆ
G SC qui est non ramifié et tel que g sc (φ) soit l’élément
que l’on vient de fixer. Soit w → z(w) le cocycle de W F dans Z( ˆ
G) tel que
g(w) = z(w)π(g sc (w)). On a évidemment (g(w), w) ∈ G
pour tout w ∈ W F et on
pose ˆ
ξ 1 (g(w), w) = (ζ 1 (w), w). L’application ζ 1 est un cocycle de W F dans Z( ˆ
G
1 ).
Les cocycles z et ζ 1 déterminent des caractères λ z de G(F ) et λ ζ1 de G
1 (F ). Parce
que les cocycles sont non ramifiés, λ z est trivial sur K et λ ζ1 est trivial sur K
1
([79] 4.1(1)). Il existe donc une unique application ˜
λ z : ˜
G(F ) → C
× qui vaut 1
sur ˜
K et vérifie ˜
λ z (gγ) = λ z (g) ˜
λ z (γ) pour tous g ∈ G(F ) et γ ∈ ˜
G(F ). De même,
il existe une unique application ˜
λ ζ1 : ˜
G
1 (F ) → C
× qui vaut 1 sur ˜
K
1 et vérifie
˜
λ ζ1 (g 1 δ 1 ) = λ ζ1 (g 1 ) ˜
λ ζ1 (δ 1 ) pour tous g 1 ∈ G
1 (F ) et δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ).