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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On fixe comme en 6.2 une paire de Borel épinglée E
∗ de G, définie sur F , dont
le groupe K est issu. Soit (δ 1 , γ) ∈ D 1 . On fixe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ)
et on utilise les constructions de 2.2. En particulier, on complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E. On fixe g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ . On choisit pour
cochaîne u E l’application u E (σ) = g
−1 σ(g). On fixe e ∈ Z( ˜
G, E). Comme en 2.2,
on définit une cochaîne V T : Γ F → T sc par
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
La cochaîne V T est un cocycle. On écrit γ = νe, avec ν ∈ T . On note ν ad l’image
de ν dans T ad . Alors le couple (V T , ν ad ) appartient à Z
1,0 (Γ F ; T sc
1−θ
→ T ad ). On
définit une cochaîne t T,sc : W F → ˆ
T sc par la même formule qu’en 2.2 :
t T,sc (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
C’est un cocycle. On note s ad l’image de s dans ˆ
T ad (rappelons que ˜
s = s ˆ
θ). Le
couple (t T,sc , s ad ) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ). On dispose du produit
., . : H
1,0 (Γ F ; T sc
1−θ
→ T ad ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) → C
× .
On pose
Δ imp (δ 1 , γ) = ˜
λ ζ1 (δ 1 )
−1 ˜
λ z (γ) (V T , ν ad ), (t T,sc , s ad )
−1
et
Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ imp (δ 1 , γ).
Lemme.
(i) Le facteur Δ 1 ne dépend que des choix des sous-espaces hyperspéciaux ˜
K et
˜
K
1 , c’est-à-dire qu’il ne dépend d’aucune autre donnée auxiliaire.
(ii) Pour (δ 1 , γ), (δ 1 , γ) ∈ D 1 , on a l’égalité
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 .
Preuve. On commence par démontrer (ii), sous la réserve que les choix de données auxiliaires pour les deux paires (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) soient cohérents. Dans les
constructions de 2.2 intervient un élément r ∈ G SC tel que ad r (E) = E. Puisqu’on
a choisi g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ et de même g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ ,
on peut choisir et on choisit r = g
−1 g. Il est clair que le cocycle V de 2.2 est
l’image de (V T , V
−1
T ) par l’homomorphisme naturel T sc × T sc → U . En utilisant
la compatibilité des produits aux deux diagrammes duaux
T sc × T sc
1−θ
→ S 1
↓
↓
U
1−θ
→ S 1
et
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad
↑
↑
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→
ˆ
U ,
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On fixe comme en 6.2 une paire de Borel épinglée E
∗ de G, définie sur F , dont
le groupe K est issu. Soit (δ 1 , γ) ∈ D 1 . On fixe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ)
et on utilise les constructions de 2.2. En particulier, on complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E. On fixe g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ . On choisit pour
cochaîne u E l’application u E (σ) = g
−1 σ(g). On fixe e ∈ Z( ˜
G, E). Comme en 2.2,
on définit une cochaîne V T : Γ F → T sc par
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
La cochaîne V T est un cocycle. On écrit γ = νe, avec ν ∈ T . On note ν ad l’image
de ν dans T ad . Alors le couple (V T , ν ad ) appartient à Z
1,0 (Γ F ; T sc
1−θ
→ T ad ). On
définit une cochaîne t T,sc : W F → ˆ
T sc par la même formule qu’en 2.2 :
t T,sc (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
C’est un cocycle. On note s ad l’image de s dans ˆ
T ad (rappelons que ˜
s = s ˆ
θ). Le
couple (t T,sc , s ad ) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ). On dispose du produit
., . : H
1,0 (Γ F ; T sc
1−θ
→ T ad ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) → C
× .
On pose
Δ imp (δ 1 , γ) = ˜
λ ζ1 (δ 1 )
−1 ˜
λ z (γ) (V T , ν ad ), (t T,sc , s ad )
−1
et
Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ imp (δ 1 , γ).
Lemme.
(i) Le facteur Δ 1 ne dépend que des choix des sous-espaces hyperspéciaux ˜
K et
˜
K
1 , c’est-à-dire qu’il ne dépend d’aucune autre donnée auxiliaire.
(ii) Pour (δ 1 , γ), (δ 1 , γ) ∈ D 1 , on a l’égalité
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 .
Preuve. On commence par démontrer (ii), sous la réserve que les choix de données auxiliaires pour les deux paires (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) soient cohérents. Dans les
constructions de 2.2 intervient un élément r ∈ G SC tel que ad r (E) = E. Puisqu’on
a choisi g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ et de même g ∈ G SC tel que ad g (E) = E
∗ ,
on peut choisir et on choisit r = g
−1 g. Il est clair que le cocycle V de 2.2 est
l’image de (V T , V
−1
T ) par l’homomorphisme naturel T sc × T sc → U . En utilisant
la compatibilité des produits aux deux diagrammes duaux
T sc × T sc
1−θ
→ S 1
↓
↓
U
1−θ
→ S 1
et
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad
↑
↑
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→
ˆ
U ,