I.6. Le cas non ramifié
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on voit que
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) =
((V T , V
−1
T ), ν 1 ), ( ˆ
V 1 , (s ad , s ad ))
−1
,
le produit étant celui sur
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad ).
Le cocycle ˆ
V 1 est le produit des deux cocycles suivants :
– l’image ˆ
V sc de (t T,sc , t T ,sc ) par l’homomorphisme naturel ˆ
q : ˆ
T sc × ˆ
T sc → ˆ
S 1
qui, à (t sc , t sc ), associe ˆ
q(t sc , t sc ) = (j(t sc ), j(t sc ), t sc t
−1
sc ) ;
– le cocycle w → Z(w) = ((ζ 1 (w), z(w)
−1 ), (ζ 1 (w), z(w)
−1 ), 1) ∈ ˆ
S 1 .
Et le cocycle ( ˆ
V 1 , (s ad , s ad )) est le produit des deux cocycles ( ˆ
V sc , (s ad , s ad ))
et du cocycle (Z, 1). On en déduit l’égalité
(2)
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
=
((V T , V
−1
T ), ν 1 ), ( ˆ
V sc , (s ad , s ad ))
−1
(V T , V
−1
T ), ν 1 ), (Z, 1)
−1
.
En utilisant de nouveau une compatibilité des produits, le premier terme est égal à
(3)
((V T , V
−1
T ), q(ν 1 )), ((t T,sc , t T ,sc ), (s ad , s ad ))
−1
,
où q : S 1 → T ad × T ad est dual de l’homomorphisme ˆ
q défini ci-dessus. On voit
que q(ν 1 ) = (ν ad , ν ad ). Le produit ci-dessus est maintenant celui sur
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
1−θ
→ T ad × T ad ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T sc × ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad ).
Ces espaces comme ce produit se scindent selon les termes provenant de T et ceux
provenant de T . Le produit (3) est alors égal à
(4)
(V T , ν ad ), (t T,sc , s ad )
−1
(V T , ν ad ), (t T ,sc , s ad )
.
Introduisons le tore ˆ
R formé des (t, t, t sc ) ∈ ˆ
T × ˆ
T × ˆ
T sc tels que j(t sc ) = tt
−1 et
le tore ˆ
R 1 formé des (t, t, t sc ) ∈ ˆ
T
1 × ˆ
T
1 × ˆ
T
ˆ
θ
sc tels que j(t sc ) = tt
−1 . On a des
diagrammes commutatifs
ˆ
R
ˆ
π
→
ˆ
T ad × ˆ
T ad
ˆ
ρ ↓
1 − ˆ
θ ↓
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad ,
ˆ
R 1
→
1
ˆ
ρ 1 ↓
↓
ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad ,
où ˆ
π, ˆ
ρ et ˆ
ρ 1 sont les homomorphismes naturels. On introduit aussi les tores duaux
R et R 1 et les homomorphismes π : T sc × T sc → R, ρ : S 1 → R et ρ 1 : S 1 → R 1