162
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
duaux de ˆ
π, ˆ
ρ et ˆ
ρ 1 . Le cocycle Z est le produit des images des deux cocycles
suivants :
– l’inverse du cocycle z : w → (z(w), z(w), 1) ∈ ˆ
R ;
– le cocycle ζ 1 : w → (ζ 1 (w), ζ 1 (w), 1) ∈ ˆ
R 1 .
On utilise la compatibilité des produits aux diagrammes ci-dessus et la relation [48] A.3.13 (où le signe disparaît d’après [49] 4.3). On voit que le deuxième
terme de (2) est égal à
(5)
(((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
ρ 1 (ν 1 ), ζ 1
−1 ,
le premier produit étant celui sur
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R) × H
1,0 (W F ; ˆ
R
ˆ
π
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad )
et le second celui sur
H
1,0 (Γ F ; R 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
R 1 ).
On a l’égalité R 1 = (T
1 ×T
1 )/ diag − (Z(G
1 , G)), où Z(G
1 , G) est le sous-groupe des
éléments de Z(G
1 ) dont l’image dans Z(G
) appartient à l’image naturelle de Z(G)
(ou encore, c’est la projection dans Z(G
1 ) du groupe Z 1 de 2.2). Le tore R 1 est un
sous-tore maximal du groupe (G
1 × G
1 )/ diag − (Z(G
1 , G)). L’élément ρ 1 (ν 1 ) est
égal à l’image dans R 1 de (μ 1 , μ
−1
1
). Son image dans (G
1 × G
1 )/ diag − (Z(G
1 , G))
est celle de (xμ 1 , μ
−1
1
), où x ∈ G
1 (F ) est l’élément tel que xδ 1 = δ 1 . Le calcul de
la preuve du lemme 2.5 montre que le produit de cet élément avec ζ 1 vaut λ ζ1 (x).
En appliquant les définitions, on obtient
(6)
ρ 1 (ν 1 ), ζ 1
−1 = ˜
λ ζ1 (δ 1 )
−1 ˜
λ ζ1 (δ 1 ).
On a l’égalité R = (T × T )/ diag − (Z(G)). C’est un sous-tore maximal du groupe
G
= (G × G)/ diag − (Z(G)). On a l’égalité G
SC = G SC × G SC et T sc × T sc est
l’image réciproque de R dans G
SC . On se retrouve dans la situation de 2.4. C’està-dire que z est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G
) qui détermine un caractère λ z du
groupe G
(F ). Si (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )) est l’image de y
∈ G
(F )
par l’homomorphisme surjectif
G
(F ) → H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R),
on a l’égalité
(7)
(((1 − θ)(V
−1
T ), (1 − θ)(V T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
= λ z (y
).
Il reste à calculer un élément y
vérifiant la propriété ci-dessus. Introduisons l’élément e
∗ = geg
−1
∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Remarquons que, d’après nos choix, on a aussi
e
∗ = geg
−1 . Ecrivons γ = ye
∗ , γ = ye
∗ avec y, y ∈ G. Puisque E
∗ est défini sur F ,
on a σ(e
∗ ) ∈ Z(G)e
∗ pour tout σ ∈ Γ F . Il en résulte que l’image de (y, y
−1 ) dans
G
appartient à G
(F ). Montrons que
(8) on peut choisir pour y
l’image de (y, y
−1 ) dans G
(F ).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
duaux de ˆ
π, ˆ
ρ et ˆ
ρ 1 . Le cocycle Z est le produit des images des deux cocycles
suivants :
– l’inverse du cocycle z : w → (z(w), z(w), 1) ∈ ˆ
R ;
– le cocycle ζ 1 : w → (ζ 1 (w), ζ 1 (w), 1) ∈ ˆ
R 1 .
On utilise la compatibilité des produits aux diagrammes ci-dessus et la relation [48] A.3.13 (où le signe disparaît d’après [49] 4.3). On voit que le deuxième
terme de (2) est égal à
(5)
(((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
ρ 1 (ν 1 ), ζ 1
−1 ,
le premier produit étant celui sur
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R) × H
1,0 (W F ; ˆ
R
ˆ
π
→ ˆ
T ad × ˆ
T ad )
et le second celui sur
H
1,0 (Γ F ; R 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
R 1 ).
On a l’égalité R 1 = (T
1 ×T
1 )/ diag − (Z(G
1 , G)), où Z(G
1 , G) est le sous-groupe des
éléments de Z(G
1 ) dont l’image dans Z(G
) appartient à l’image naturelle de Z(G)
(ou encore, c’est la projection dans Z(G
1 ) du groupe Z 1 de 2.2). Le tore R 1 est un
sous-tore maximal du groupe (G
1 × G
1 )/ diag − (Z(G
1 , G)). L’élément ρ 1 (ν 1 ) est
égal à l’image dans R 1 de (μ 1 , μ
−1
1
). Son image dans (G
1 × G
1 )/ diag − (Z(G
1 , G))
est celle de (xμ 1 , μ
−1
1
), où x ∈ G
1 (F ) est l’élément tel que xδ 1 = δ 1 . Le calcul de
la preuve du lemme 2.5 montre que le produit de cet élément avec ζ 1 vaut λ ζ1 (x).
En appliquant les définitions, on obtient
(6)
ρ 1 (ν 1 ), ζ 1
−1 = ˜
λ ζ1 (δ 1 )
−1 ˜
λ ζ1 (δ 1 ).
On a l’égalité R = (T × T )/ diag − (Z(G)). C’est un sous-tore maximal du groupe
G
= (G × G)/ diag − (Z(G)). On a l’égalité G
SC = G SC × G SC et T sc × T sc est
l’image réciproque de R dans G
SC . On se retrouve dans la situation de 2.4. C’està-dire que z est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G
) qui détermine un caractère λ z du
groupe G
(F ). Si (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )) est l’image de y
∈ G
(F )
par l’homomorphisme surjectif
G
(F ) → H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R),
on a l’égalité
(7)
(((1 − θ)(V
−1
T ), (1 − θ)(V T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
= λ z (y
).
Il reste à calculer un élément y
vérifiant la propriété ci-dessus. Introduisons l’élément e
∗ = geg
−1
∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Remarquons que, d’après nos choix, on a aussi
e
∗ = geg
−1 . Ecrivons γ = ye
∗ , γ = ye
∗ avec y, y ∈ G. Puisque E
∗ est défini sur F ,
on a σ(e
∗ ) ∈ Z(G)e
∗ pour tout σ ∈ Γ F . Il en résulte que l’image de (y, y
−1 ) dans
G
appartient à G
(F ). Montrons que
(8) on peut choisir pour y
l’image de (y, y
−1 ) dans G
(F ).