I.6. Le cas non ramifié
163
Décomposons ν en π(ν sc )ν Z , avec ν Z ∈ Z(G) et ν sc ∈ T sc . On a γ = νe =
νg
−1 e
∗ g = νg
−1 ad e ∗ (g)e
∗ . Donc y = π(y sc )ν Z , avec y sc = ν sc g
−1 ad e ∗ (g). On définit le cocycle τ : Γ F → Z(G SC ) par τ (σ) = y sc σ(y sc )
−1 . En utilisant des notations
analogues pour l’élément γ, le calcul de 2.4 montre que l’image de (y, y
−1 ) dans
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R) est le cocycle ((τ, τ
−1 ), (ν Z , ν
−1
Z )). On doit montrer que
celui-ci est cohomologue à (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )). Tout d’abord, on
a l’égalité ρ(ν 1 ) = (ν, ν
−1 ). Donc (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )) est cohomologue à ((τ
, (τ
)
−1 ), (ν Z , ν
−1
Z )), où τ
(σ) = ν sc (1 − θ)(V T (σ))σ(ν sc )
−1 . Rappelons
que le θ de cette relation est plus précisément ad e , c’est-à-dire ad
−1
g ◦ ad e ∗ ◦ ad g . En
reprenant la définition de V T et en se rappelant que les termes r T (σ) et n E (ω T (σ))
sont fixes par ad e , on obtient
τ
(σ) = ν sc ad e (u E (σ)
−1 )u E (σ)σ(ν sc )
−1
= ν sc ad
−1
g ◦ ad e ∗ ◦ ad g (σ(g)
−1 g)g
−1 σ(g)σ(ν sc )
−1
= ν sc g
−1 ad e ∗ (gσ(g)
−1 )σ(gν
−1
sc ).
L’automorphisme ad e ∗ est défini sur F . D’où
τ
(σ) = ν sc g
−1 ad e ∗ (g)σ(ad e ∗ (g
−1 )gν
−1
sc ) = y sc σ(y sc )
−1 = τ (σ).
Un calcul analogue vaut pour τ
, ce qui démontre (8).
On peut donc appliquer (7) en prenant pour y
l’image de (y, y
−1 ). Un calcul
analogue à celui de la preuve du lemme 2.5 montre que λ z (y
) = λ z (x), où x est
l’élément de G(F ) tel que y = xy ou encore γ = xγ. D’où
(9)
(((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
= ˜
λ z (γ) ˜
λ z (γ)
−1 .
Rassemblons nos calculs.
Le facteur Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) est le produit des termes (4), (6) et (9). Autrement dit
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ imp (δ 1 , γ)Δ imp (δ 1 , γ)
−1 .
Cela démontre le (ii) de l’énoncé.
Prouvons maintenant l’assertion (i). Les données auxiliaires pour une paire
(δ 1 , γ) sont
(10) le diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ), la paire de Borel épinglée E, l’élément g ∈
G SC , les a-data et les χ-data ;
(11) la paire de Borel épinglée E
∗ , les paires de Borel épinglées des groupes duaux,
les termes g(φ) et g sc (φ) ;
(12) l’élément e ∈ Z( ˜
G, E).
On voit tout de suite que le choix de e n’influe pas : ce terme ne sert qu’à
définir ad e et ν. L’automorphisme ad e ne dépend pas du choix de e. Le terme
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Décomposons ν en π(ν sc )ν Z , avec ν Z ∈ Z(G) et ν sc ∈ T sc . On a γ = νe =
νg
−1 e
∗ g = νg
−1 ad e ∗ (g)e
∗ . Donc y = π(y sc )ν Z , avec y sc = ν sc g
−1 ad e ∗ (g). On définit le cocycle τ : Γ F → Z(G SC ) par τ (σ) = y sc σ(y sc )
−1 . En utilisant des notations
analogues pour l’élément γ, le calcul de 2.4 montre que l’image de (y, y
−1 ) dans
H
1,0 (Γ F ; T sc × T sc
π
→ R) est le cocycle ((τ, τ
−1 ), (ν Z , ν
−1
Z )). On doit montrer que
celui-ci est cohomologue à (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )). Tout d’abord, on
a l’égalité ρ(ν 1 ) = (ν, ν
−1 ). Donc (((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )) est cohomologue à ((τ
, (τ
)
−1 ), (ν Z , ν
−1
Z )), où τ
(σ) = ν sc (1 − θ)(V T (σ))σ(ν sc )
−1 . Rappelons
que le θ de cette relation est plus précisément ad e , c’est-à-dire ad
−1
g ◦ ad e ∗ ◦ ad g . En
reprenant la définition de V T et en se rappelant que les termes r T (σ) et n E (ω T (σ))
sont fixes par ad e , on obtient
τ
(σ) = ν sc ad e (u E (σ)
−1 )u E (σ)σ(ν sc )
−1
= ν sc ad
−1
g ◦ ad e ∗ ◦ ad g (σ(g)
−1 g)g
−1 σ(g)σ(ν sc )
−1
= ν sc g
−1 ad e ∗ (gσ(g)
−1 )σ(gν
−1
sc ).
L’automorphisme ad e ∗ est défini sur F . D’où
τ
(σ) = ν sc g
−1 ad e ∗ (g)σ(ad e ∗ (g
−1 )gν
−1
sc ) = y sc σ(y sc )
−1 = τ (σ).
Un calcul analogue vaut pour τ
, ce qui démontre (8).
On peut donc appliquer (7) en prenant pour y
l’image de (y, y
−1 ). Un calcul
analogue à celui de la preuve du lemme 2.5 montre que λ z (y
) = λ z (x), où x est
l’élément de G(F ) tel que y = xy ou encore γ = xγ. D’où
(9)
(((1 − θ)(V T ), (1 − θ)(V
−1
T )), ρ(ν 1 )), (z, 1)
= ˜
λ z (γ) ˜
λ z (γ)
−1 .
Rassemblons nos calculs.
Le facteur Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) est le produit des termes (4), (6) et (9). Autrement dit
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ imp (δ 1 , γ)Δ imp (δ 1 , γ)
−1 .
Cela démontre le (ii) de l’énoncé.
Prouvons maintenant l’assertion (i). Les données auxiliaires pour une paire
(δ 1 , γ) sont
(10) le diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ), la paire de Borel épinglée E, l’élément g ∈
G SC , les a-data et les χ-data ;
(11) la paire de Borel épinglée E
∗ , les paires de Borel épinglées des groupes duaux,
les termes g(φ) et g sc (φ) ;
(12) l’élément e ∈ Z( ˜
G, E).
On voit tout de suite que le choix de e n’influe pas : ce terme ne sert qu’à
définir ad e et ν. L’automorphisme ad e ne dépend pas du choix de e. Le terme