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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
ν en dépend, mais il n’intervient que via ν ad qui, lui, n’en dépend pas. Quand
on considère deux couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ), faire des choix cohérents signifie que
l’on prend les mêmes objets (11) pour les deux couples (il y a aussi une condition
portant sur les termes e et e, mais on peut l’oublier d’après ce que l’on vient de
dire). Il n’y a aucune condition de cohérence portant sur les objets (10). Puisque
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) ne dépend d’aucun choix et puisque Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des
objets (10) relatifs au couple (δ 1 , γ), on déduit de notre preuve (partielle) de (ii)
que Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des objets (10) et qu’il ne dépend des objets (11)
que par multiplication par un scalaire. Il nous suffit donc de prouver que pour
un couple particulier (δ 1 , γ), le facteur Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des objets (11).
On choisit l’une des paires (δ, γ) que l’on a construites dans la preuve du lemme
6.2. L’élément δ appartient à l’espace ˜
K
. On vérifie facilement que l’application
˜
K
1 → ˜
K
est surjective. On relève δ en un élément δ 1 ∈ ˜
K
1 . On choisit pour
diagramme et pour élément g le diagramme et l’élément k que l’on a construits
dans cette preuve. Les tores T et T
sont non ramifiés. On peut supposer que χ α
est trivial pour un élément α ∈ Σ(T ) res,ind appartenant à une orbite asymétrique
et est non ramifié pour un α appartenant à une orbite symétrique. Cette dernière
condition détermine χ α : on a χ α (x) = (−1)
valF α (x) pour x ∈ F α , où val Fα est la
valuation usuelle de F α . On peut aussi supposer que les a-data a α sont des unités
de F α . Il résulte alors des constructions que (V T , ν ad ) appartient à
H
1,0 (Γ F /Γ F nr ; T sc (o
nr )
1−θ
→ T ad (o
nr )).
Par ailleurs, (t T,sc , s ad ) appartient à
H
1,0 (W F /W F nr ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ).
Or la restriction de la dualité de Kottwitz–Shelstad au produit des deux groupes
ci-dessus est triviale. Donc
(V T , ν ad ), (t T,sc , s ad ) = 1.
Puisque δ 1 ∈ ˜
K
1 et γ ∈ ˜
K, on a ˜
λ ζ1 (δ 1 ) = ˜
λ z (γ) = 1. D’où Δ imp (δ 1 , γ) = 1 et
Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ). Ce terme ne dépendant pas des données (11), cela achève
la démonstration.
Dans [79], on a donné une autre façon de normaliser le facteur de transfert,
sous l’hypothèse (Hyp) de 6.1. On a
(13) sous l’hypothèse (Hyp), le facteur de [79] coïncide avec celui ci-dessus.
Le facteur de [79] est caractérisé par le fait que, pour (δ 1 , γ) appartenant à
un certain sous-ensemble D 1,nr ⊂ D 1 , on a Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ). Or, parmi les
couples que l’on a considéré à la fin de la démonstration ci-dessus, il y en a qui
appartiennent à D 1,nr . On a prouvé que notre présent facteur vérifiait l’égalité
ci-dessus pour ces couples-là. Cela conclut.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
ν en dépend, mais il n’intervient que via ν ad qui, lui, n’en dépend pas. Quand
on considère deux couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ), faire des choix cohérents signifie que
l’on prend les mêmes objets (11) pour les deux couples (il y a aussi une condition
portant sur les termes e et e, mais on peut l’oublier d’après ce que l’on vient de
dire). Il n’y a aucune condition de cohérence portant sur les objets (10). Puisque
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) ne dépend d’aucun choix et puisque Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des
objets (10) relatifs au couple (δ 1 , γ), on déduit de notre preuve (partielle) de (ii)
que Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des objets (10) et qu’il ne dépend des objets (11)
que par multiplication par un scalaire. Il nous suffit donc de prouver que pour
un couple particulier (δ 1 , γ), le facteur Δ 1 (δ 1 , γ) ne dépend pas des objets (11).
On choisit l’une des paires (δ, γ) que l’on a construites dans la preuve du lemme
6.2. L’élément δ appartient à l’espace ˜
K
. On vérifie facilement que l’application
˜
K
1 → ˜
K
est surjective. On relève δ en un élément δ 1 ∈ ˜
K
1 . On choisit pour
diagramme et pour élément g le diagramme et l’élément k que l’on a construits
dans cette preuve. Les tores T et T
sont non ramifiés. On peut supposer que χ α
est trivial pour un élément α ∈ Σ(T ) res,ind appartenant à une orbite asymétrique
et est non ramifié pour un α appartenant à une orbite symétrique. Cette dernière
condition détermine χ α : on a χ α (x) = (−1)
valF α (x) pour x ∈ F α , où val Fα est la
valuation usuelle de F α . On peut aussi supposer que les a-data a α sont des unités
de F α . Il résulte alors des constructions que (V T , ν ad ) appartient à
H
1,0 (Γ F /Γ F nr ; T sc (o
nr )
1−θ
→ T ad (o
nr )).
Par ailleurs, (t T,sc , s ad ) appartient à
H
1,0 (W F /W F nr ; ˆ
T sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ).
Or la restriction de la dualité de Kottwitz–Shelstad au produit des deux groupes
ci-dessus est triviale. Donc
(V T , ν ad ), (t T,sc , s ad ) = 1.
Puisque δ 1 ∈ ˜
K
1 et γ ∈ ˜
K, on a ˜
λ ζ1 (δ 1 ) = ˜
λ z (γ) = 1. D’où Δ imp (δ 1 , γ) = 1 et
Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ). Ce terme ne dépendant pas des données (11), cela achève
la démonstration.
Dans [79], on a donné une autre façon de normaliser le facteur de transfert,
sous l’hypothèse (Hyp) de 6.1. On a
(13) sous l’hypothèse (Hyp), le facteur de [79] coïncide avec celui ci-dessus.
Le facteur de [79] est caractérisé par le fait que, pour (δ 1 , γ) appartenant à
un certain sous-ensemble D 1,nr ⊂ D 1 , on a Δ 1 (δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ). Or, parmi les
couples que l’on a considéré à la fin de la démonstration ci-dessus, il y en a qui
appartiennent à D 1,nr . On a prouvé que notre présent facteur vérifiait l’égalité
ci-dessus pour ces couples-là. Cela conclut.