I.6. Le cas non ramifié
165
I.6.4 Le lemme fondamental
On suppose G
non ramifié et on suppose vérifiée l’hypothèse (Hyp) de 6.1. Considérons des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 non ramifiées. On fixe comme dans le
paragraphe précédent un sous-espace hyperspécial ˜
K
1 ⊂ ˜
G
1 (F ). Notons 1 ˜
K la
fonction caractéristique de ˜
K et 1 ˜
K
1 ,λ1 l’élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) qui est à support dans C 1 (F ) ˜
K
1 et vaut 1 sur ˜
K
1 . On utilise le facteur de transfert normalisé
de 6.3 pour définir la notion de transfert. Grâce à Ngo Bao Chau, on a :
Théorème (lemme fondamental pour les unités). 1 ˜
K
1 ,λ1 est un transfert de 1 ˜
K .
Notons H, resp. H
1 , l’algèbre des fonctions sur G(F ), resp. G
1 (F ), à support
compact et biinvariantes par K, resp. K
1 . Notons φ ∈ W F un élément de Frobenius
et ˆ
H, resp. ˆ
H
, resp. ˆ
H
1 , l’algèbre des fonctions polynomiales sur ˆ
G φ ⊂
L G,
resp. G ∩ ( ˆ
G φ), resp. ˆ
G
1 φ ⊂
L G
1 , invariantes par conjugaison par ˆ
G, resp.
ˆ
G , resp. ˆ
G
1 . On a un diagramme
H
Satake
ˆ
H
↓ restriction
ˆ
H
↑ restriction
H
1
Satake
ˆ
H
1 .
D’autre part, H agit par convolution à droite et à gauche sur C
∞
c ( ˜
G(F )) et H
1
agit par convolution à droite et à gauche sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )). On peut énoncer un
lemme fondamental sous la forme suivante (cf. [60]).
Théorème. Soient h ∈ H et h
1 ∈ H
1 . On suppose que h et h
1 ont même image
dans ˆ
H
. Alors
h
1 ∗ 1 ˜
K
1 ,λ1 = 1 ˜
K
1 ,λ1 ∗ h
1
est un transfert de h ∗ 1 ˜
K comme de 1 ˜
K ∗ (ω
−1 h).
Ces énoncés se traduisent aisément selon le formalisme introduit en 2.5. A
l’aide du facteur de transfert normalisé, on identifie C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) à C
∞
c (G
). Notons 1 ˜
K ,G l’image de 1 ˜
K
1 ,λ1 dans ce dernier espace. On vérifie qu’elle ne dépend
pas des données auxiliaires choisies. Le théorème signifie que cet élément est un
transfert de 1 ˜
K . De même, on peut introduire une algèbre H
limite inductive
des algèbres H
1 quand G
1 ,. . ., Δ 1 parcourent toutes les données auxiliaires non
ramifiées. Elle s’identifie, mais de façon non canonique, à l’algèbre des fonctions
sur G
(F ) à support compact et biinvariantes par K
. L’isomorphisme de Satake
identifie H
à ˆ
H
. L’algèbre H
agit sur C
∞
c (G
) et la conjecture ci-dessus se récrit
immédiatement en termes de cette action.
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I.6.4 Le lemme fondamental
On suppose G
non ramifié et on suppose vérifiée l’hypothèse (Hyp) de 6.1. Considérons des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 non ramifiées. On fixe comme dans le
paragraphe précédent un sous-espace hyperspécial ˜
K
1 ⊂ ˜
G
1 (F ). Notons 1 ˜
K la
fonction caractéristique de ˜
K et 1 ˜
K
1 ,λ1 l’élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) qui est à support dans C 1 (F ) ˜
K
1 et vaut 1 sur ˜
K
1 . On utilise le facteur de transfert normalisé
de 6.3 pour définir la notion de transfert. Grâce à Ngo Bao Chau, on a :
Théorème (lemme fondamental pour les unités). 1 ˜
K
1 ,λ1 est un transfert de 1 ˜
K .
Notons H, resp. H
1 , l’algèbre des fonctions sur G(F ), resp. G
1 (F ), à support
compact et biinvariantes par K, resp. K
1 . Notons φ ∈ W F un élément de Frobenius
et ˆ
H, resp. ˆ
H
, resp. ˆ
H
1 , l’algèbre des fonctions polynomiales sur ˆ
G φ ⊂
L G,
resp. G ∩ ( ˆ
G φ), resp. ˆ
G
1 φ ⊂
L G
1 , invariantes par conjugaison par ˆ
G, resp.
ˆ
G , resp. ˆ
G
1 . On a un diagramme
H
Satake
ˆ
H
↓ restriction
ˆ
H
↑ restriction
H
1
Satake
ˆ
H
1 .
D’autre part, H agit par convolution à droite et à gauche sur C
∞
c ( ˜
G(F )) et H
1
agit par convolution à droite et à gauche sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )). On peut énoncer un
lemme fondamental sous la forme suivante (cf. [60]).
Théorème. Soient h ∈ H et h
1 ∈ H
1 . On suppose que h et h
1 ont même image
dans ˆ
H
. Alors
h
1 ∗ 1 ˜
K
1 ,λ1 = 1 ˜
K
1 ,λ1 ∗ h
1
est un transfert de h ∗ 1 ˜
K comme de 1 ˜
K ∗ (ω
−1 h).
Ces énoncés se traduisent aisément selon le formalisme introduit en 2.5. A
l’aide du facteur de transfert normalisé, on identifie C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) à C
∞
c (G
). Notons 1 ˜
K ,G l’image de 1 ˜
K
1 ,λ1 dans ce dernier espace. On vérifie qu’elle ne dépend
pas des données auxiliaires choisies. Le théorème signifie que cet élément est un
transfert de 1 ˜
K . De même, on peut introduire une algèbre H
limite inductive
des algèbres H
1 quand G
1 ,. . ., Δ 1 parcourent toutes les données auxiliaires non
ramifiées. Elle s’identifie, mais de façon non canonique, à l’algèbre des fonctions
sur G
(F ) à support compact et biinvariantes par K
. L’isomorphisme de Satake
identifie H
à ˆ
H
. L’algèbre H
agit sur C
∞
c (G
) et la conjecture ci-dessus se récrit
immédiatement en termes de cette action.