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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.7 Unitarité, conjugaison complexe
I.7.1 Données auxiliaires et unitarité
Dans toute la section, on impose que le caractère ω de G(F ) déduit de a est
unitaire. On fixe une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a). On fixe
une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G conservée par l’action
galoisienne. On note ˆ
θ l’automorphisme habituel qui conserve ˆ
E. Pour simplifier,
on suppose que ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On pose ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
et ˆ
T
= ˆ
T ∩ ˆ
G
= ˆ
T
ˆ
θ,0 .
On munit ˆ
G
d’une paire de Borel épinglée ˆ
E
dont la paire de Borel sous-jacente
est ( ˆ
B
, ˆ
T
). Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . Le groupe C 1 (F )
est muni d’un caractère λ 1 . On va montrer que le groupe G
1 (F ) est lui-aussi muni
d’un caractère λ
+
G
1
à valeurs dans le groupe multiplicatif R >0 .
Rappelons que, pour tout tore R défini sur F , le groupe des caractères de
R(F ) est isomorphe à H
1 (W F ; ˆ
R). Notons U le groupe des nombres complexes de
module 1. Le tore complexe ˆ
R se décompose en produit direct ˆ
R u ˆ
R
+ , où ˆ
R u =
X ∗ ( ˆ
R) ⊗ Z U et ˆ
R
+ = X ∗ ( ˆ
R) ⊗ Z R >0 . Pour x ∈ ˆ
R, on note |x| sa composante dans
ˆ
R
+ . La décomposition est compatible aux actions galoisiennes. Ainsi, H
1 (W F ; ˆ
R)
se décompose en produit H
1 (W F ; ˆ
R u )×H
1 (W F ; ˆ
R
+ ). Pour b ∈ H
1 (W F ; ˆ
R), notons
|b| sa projection dans H
1 (W F ; ˆ
R
+ ). Il résulte de la définition de la correspondance
que, si β est un caractère de R(F ) correspondant à la classe de cocycle b, alors le
caractère |β| correspond à la classe |b|.
Pour tout w ∈ W F , fixons un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw
conserve ˆ
E
. On pose ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w). L’élément ζ 1 (w) appartient au centre de
ˆ
G
1 . Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que G et G
soient déployés
sur E. Pour w ∈ W E , ad g(w) ◦w G = ad g(w) conserve ˆ
T
ˆ
θ,0 et y agit trivialement.
Donc g(w) ∈ ˆ
T . Comme en 2.2, notons ˆ
T
1 le commutant de ˆ
ξ 1 ( ˆ
T
) dans ˆ
G
1 et ˆ
T 1
le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par ˆ
T
plongé par t
→ ( ˆ
ξ 1 (t
)
−1 , t
). Pour w ∈ W E , notons
b(w) l’image de (ζ 1 (w), g(w)
−1 ) dans ˆ
T 1 . Ce terme ne dépend pas du choix de g w .
La fonction w → b(w) est un homomorphisme de W E dans ˆ
T 1 , autrement dit un
cocycle. On dispose donc de l’homomorphisme |b| à valeurs dans ˆ
T
+
1 . D’autre part,
le tore Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 se plonge naturellement dans ˆ
T
1 puis dans ˆ
T 1 .
Lemme. L’homomorphisme |b| prend ses valeurs dans (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ .
Preuve. On a l’égalité s ˆ
θ(g(w))w(s)
−1 = a(w)g(w) pour tout w ∈ W F , où a
est un cocycle de classe a. Pour w ∈ W E , cette égalité se simplifie en ˆ
θ(g(w)) =
a(w)g(w). D’où aussi ˆ
θ(|g(w)|) = |a(w)||g(w)|. Mais ω est unitaire donc |a(w)| = 1
et |g(w)| est fixe par ˆ
θ. Le groupe R >0 étant uniquement divisible, on a ( ˆ
T
+ )
ˆ
θ =
( ˆ
T
ˆ
θ,0 )
+ = ( ˆ
T
)
+ . Ainsi |g(w)| ∈ ( ˆ
T
)
+ . Montrons que |g(w)| est central dans ˆ
G
.
En effet, soit α res une racine simple de ˆ
T
dans ˆ
G
. C’est la restriction à ˆ
T
ˆ
θ,0 d’une
racine α de ˆ
T . Parce que ad g(w) conserve ˆ
E
, on a α(g(w)) = 1. Il en résulte que
α res (|g(w)|) = |α(g(w))| = 1. D’où l’assertion. L’élément (|g(w)|
−1 g(w), w) de G
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.7 Unitarité, conjugaison complexe
I.7.1 Données auxiliaires et unitarité
Dans toute la section, on impose que le caractère ω de G(F ) déduit de a est
unitaire. On fixe une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a). On fixe
une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G conservée par l’action
galoisienne. On note ˆ
θ l’automorphisme habituel qui conserve ˆ
E. Pour simplifier,
on suppose que ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On pose ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
et ˆ
T
= ˆ
T ∩ ˆ
G
= ˆ
T
ˆ
θ,0 .
On munit ˆ
G
d’une paire de Borel épinglée ˆ
E
dont la paire de Borel sous-jacente
est ( ˆ
B
, ˆ
T
). Considérons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . Le groupe C 1 (F )
est muni d’un caractère λ 1 . On va montrer que le groupe G
1 (F ) est lui-aussi muni
d’un caractère λ
+
G
1
à valeurs dans le groupe multiplicatif R >0 .
Rappelons que, pour tout tore R défini sur F , le groupe des caractères de
R(F ) est isomorphe à H
1 (W F ; ˆ
R). Notons U le groupe des nombres complexes de
module 1. Le tore complexe ˆ
R se décompose en produit direct ˆ
R u ˆ
R
+ , où ˆ
R u =
X ∗ ( ˆ
R) ⊗ Z U et ˆ
R
+ = X ∗ ( ˆ
R) ⊗ Z R >0 . Pour x ∈ ˆ
R, on note |x| sa composante dans
ˆ
R
+ . La décomposition est compatible aux actions galoisiennes. Ainsi, H
1 (W F ; ˆ
R)
se décompose en produit H
1 (W F ; ˆ
R u )×H
1 (W F ; ˆ
R
+ ). Pour b ∈ H
1 (W F ; ˆ
R), notons
|b| sa projection dans H
1 (W F ; ˆ
R
+ ). Il résulte de la définition de la correspondance
que, si β est un caractère de R(F ) correspondant à la classe de cocycle b, alors le
caractère |β| correspond à la classe |b|.
Pour tout w ∈ W F , fixons un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw
conserve ˆ
E
. On pose ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w). L’élément ζ 1 (w) appartient au centre de
ˆ
G
1 . Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que G et G
soient déployés
sur E. Pour w ∈ W E , ad g(w) ◦w G = ad g(w) conserve ˆ
T
ˆ
θ,0 et y agit trivialement.
Donc g(w) ∈ ˆ
T . Comme en 2.2, notons ˆ
T
1 le commutant de ˆ
ξ 1 ( ˆ
T
) dans ˆ
G
1 et ˆ
T 1
le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par ˆ
T
plongé par t
→ ( ˆ
ξ 1 (t
)
−1 , t
). Pour w ∈ W E , notons
b(w) l’image de (ζ 1 (w), g(w)
−1 ) dans ˆ
T 1 . Ce terme ne dépend pas du choix de g w .
La fonction w → b(w) est un homomorphisme de W E dans ˆ
T 1 , autrement dit un
cocycle. On dispose donc de l’homomorphisme |b| à valeurs dans ˆ
T
+
1 . D’autre part,
le tore Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 se plonge naturellement dans ˆ
T
1 puis dans ˆ
T 1 .
Lemme. L’homomorphisme |b| prend ses valeurs dans (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ .
Preuve. On a l’égalité s ˆ
θ(g(w))w(s)
−1 = a(w)g(w) pour tout w ∈ W F , où a
est un cocycle de classe a. Pour w ∈ W E , cette égalité se simplifie en ˆ
θ(g(w)) =
a(w)g(w). D’où aussi ˆ
θ(|g(w)|) = |a(w)||g(w)|. Mais ω est unitaire donc |a(w)| = 1
et |g(w)| est fixe par ˆ
θ. Le groupe R >0 étant uniquement divisible, on a ( ˆ
T
+ )
ˆ
θ =
( ˆ
T
ˆ
θ,0 )
+ = ( ˆ
T
)
+ . Ainsi |g(w)| ∈ ( ˆ
T
)
+ . Montrons que |g(w)| est central dans ˆ
G
.
En effet, soit α res une racine simple de ˆ
T
dans ˆ
G
. C’est la restriction à ˆ
T
ˆ
θ,0 d’une
racine α de ˆ
T . Parce que ad g(w) conserve ˆ
E
, on a α(g(w)) = 1. Il en résulte que
α res (|g(w)|) = |α(g(w))| = 1. D’où l’assertion. L’élément (|g(w)|
−1 g(w), w) de G