I.7. Unitarité, conjugaison complexe
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vérifie donc la même propriété que g w . Puisque nos constructions ne dépendent pas
du choix de cet élément, on peut remplacer g w par l’élément ci-dessus. En oubliant
cette construction, on est ramené au cas où |g(w)| = 1. Dans ce cas, |b(w)| est
égal à l’image de |ζ 1 (w)| par l’injection ( ˆ
T
1 )
+
→ ˆ
T
+
1 . On a déjà remarqué que
ζ 1 (w) appartenait à Z( ˆ
G
1 ). Il en résulte que |ζ 1 (w)| appartient à (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ . Soit
v ∈ W F . On calcule
g v g w g
−1
v = (ad g(v) ◦v(g(w)), vwv
−1 ).
L’élément g(v) normalise ˆ
T .
Il en résulte que | ad g(v) ◦v(g(w))| = ad g(v) ◦v(|g(w)|) = 1. L’élément g v g w g
−1
v
vérifie donc les mêmes hypothèses que g vwv −1 . Puisqu’on sait que nos constructions
ne dépendent pas du choix de cet élément, on peut supposer que g vwv −1 = g v g w g
−1
v .
On a alors
(ζ 1 (vwv
−1 ), vwv
−1 ) = ˆ
ξ 1 (g v g w g
−1
v ) = ˆ
ξ 1 (g v ) ˆ
ξ 1 (g w ) ˆ
ξ 1 (g v )
−1
= (ζ 1 (v), v)(ζ 1 (w), w)(ζ 1 (v), v)
−1 .
Puisque ζ 1 (v) est central, on obtient simplement
ζ 1 (vwv
−1 ) = v G
1
(ζ 1 (w)),
où v G
1
est l’action de v sur ˆ
G
1 . D’où aussi |b(vwv
−1 )| = v G
1
(|b(w)|). D’autre part,
puisque |b| est un homomorphisme continu de W E dans (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ , il se factorise
par le plus grand quotient abélien de W E . Celui-ci s’identifie à E
× par la théorie
du corps de classes et |b| s’identifie à un homomorphisme continu de E
× dans
(Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ . Le plus grand sous-groupe compact du groupe d’arrivée est réduit à
{1}. Donc |b| est trivial sur le sous-groupe des unités de E
× (c’est-à-dire le groupe
des x ∈ E
× tels que |x| E = 1). Si w ∈ W E s’envoie sur x ∈ E
× , on sait que
vwv
−1 s’envoie sur v(x). L’élément v(x)
−1 x appartient au sous-groupe des unités
de E
× . Il en résulte que |b(vwv
−1 )| = |b(w)|. L’égalité écrite plus haut devient
|b(w)| = v G
1
(|b(w)|). Cela prouve que |b| prend ses valeurs dans le sous-groupe des
invariants par Γ F de (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ , lequel n’est autre que (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ .
On a :
(1) il existe un unique homomorphisme b
+ : W F → (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ dont la restriction à W E soit l’homomorphisme |b| précédent.
Preuve. Introduisons le tore R déployé sur F dont le dual soit Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 . Le
caractère |b| correspond à un caractère β : R(E) → R >0 . L’assertion équivaut à
l’existence d’un unique caractère β
+ : R(F ) → R >0 tel que β soit le composé de
β
+ et de l’homomorphisme norme N : R(E) → R(F ). En notant d = [E : F ],
on définit β
+ (x) = β(x)
1/d pour x ∈ R(F ). Il est clair que l’homomorphisme β
+
vérifie la condition requise et que c’est bien la seule solution.
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vérifie donc la même propriété que g w . Puisque nos constructions ne dépendent pas
du choix de cet élément, on peut remplacer g w par l’élément ci-dessus. En oubliant
cette construction, on est ramené au cas où |g(w)| = 1. Dans ce cas, |b(w)| est
égal à l’image de |ζ 1 (w)| par l’injection ( ˆ
T
1 )
+
→ ˆ
T
+
1 . On a déjà remarqué que
ζ 1 (w) appartenait à Z( ˆ
G
1 ). Il en résulte que |ζ 1 (w)| appartient à (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ . Soit
v ∈ W F . On calcule
g v g w g
−1
v = (ad g(v) ◦v(g(w)), vwv
−1 ).
L’élément g(v) normalise ˆ
T .
Il en résulte que | ad g(v) ◦v(g(w))| = ad g(v) ◦v(|g(w)|) = 1. L’élément g v g w g
−1
v
vérifie donc les mêmes hypothèses que g vwv −1 . Puisqu’on sait que nos constructions
ne dépendent pas du choix de cet élément, on peut supposer que g vwv −1 = g v g w g
−1
v .
On a alors
(ζ 1 (vwv
−1 ), vwv
−1 ) = ˆ
ξ 1 (g v g w g
−1
v ) = ˆ
ξ 1 (g v ) ˆ
ξ 1 (g w ) ˆ
ξ 1 (g v )
−1
= (ζ 1 (v), v)(ζ 1 (w), w)(ζ 1 (v), v)
−1 .
Puisque ζ 1 (v) est central, on obtient simplement
ζ 1 (vwv
−1 ) = v G
1
(ζ 1 (w)),
où v G
1
est l’action de v sur ˆ
G
1 . D’où aussi |b(vwv
−1 )| = v G
1
(|b(w)|). D’autre part,
puisque |b| est un homomorphisme continu de W E dans (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ , il se factorise
par le plus grand quotient abélien de W E . Celui-ci s’identifie à E
× par la théorie
du corps de classes et |b| s’identifie à un homomorphisme continu de E
× dans
(Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ . Le plus grand sous-groupe compact du groupe d’arrivée est réduit à
{1}. Donc |b| est trivial sur le sous-groupe des unités de E
× (c’est-à-dire le groupe
des x ∈ E
× tels que |x| E = 1). Si w ∈ W E s’envoie sur x ∈ E
× , on sait que
vwv
−1 s’envoie sur v(x). L’élément v(x)
−1 x appartient au sous-groupe des unités
de E
× . Il en résulte que |b(vwv
−1 )| = |b(w)|. L’égalité écrite plus haut devient
|b(w)| = v G
1
(|b(w)|). Cela prouve que |b| prend ses valeurs dans le sous-groupe des
invariants par Γ F de (Z( ˆ
G
1 )
0 )
+ , lequel n’est autre que (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ .
On a :
(1) il existe un unique homomorphisme b
+ : W F → (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ dont la restriction à W E soit l’homomorphisme |b| précédent.
Preuve. Introduisons le tore R déployé sur F dont le dual soit Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 . Le
caractère |b| correspond à un caractère β : R(E) → R >0 . L’assertion équivaut à
l’existence d’un unique caractère β
+ : R(F ) → R >0 tel que β soit le composé de
β
+ et de l’homomorphisme norme N : R(E) → R(F ). En notant d = [E : F ],
on définit β
+ (x) = β(x)
1/d pour x ∈ R(F ). Il est clair que l’homomorphisme β
+
vérifie la condition requise et que c’est bien la seule solution.