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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On a ainsi défini un homomorphisme b
+ : W F → (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ . On vérifie
immédiatement qu’il ne dépend pas du choix de l’extension E. Ce caractère se
pousse en un homomorphisme à valeurs dans Z( ˆ
G
1 ), lequel détermine un caractère
λ
+
G
1
de G
1 (F ), qui est clairement à valeurs dans R >0 . C’est le caractère évoqué au
début du paragraphe. Il est immédiat par construction que
(2) |λ 1 | est la restriction de λ
+
G
1
à C 1 (F ).
On a
(3) on peut choisir des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 de sorte que λ
+
G
1
soit trivial.
En effet, en partant de données auxiliaires quelconques G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 , on définit b
+ comme ci-dessus. On définit ensuite le plongement ˆ
ξ 2 par ˆ
ξ 2 (g, w) =
(b
+ (w)
−1 , 1) ˆ
ξ 1 (g, w) pour tout (g, w) ∈ G
. Les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 2 vérifient la
condition requise.
On dira que des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 sont unitaires si le caractère
associé λ
+
G
1
est trivial.
I.7.2 Unitarité du facteur de transfert
On suppose G
relevante et on fixe des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 unitaires.
Lemme. On peut choisir un facteur de transfert Δ 1 à valeurs unitaires.
Preuve. Il suffit de prouver que le bifacteur canonique Δ 1 défini sur D 1 × D 1 est
à valeurs unitaires. Fixons donc deux couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 . On reprend
les constructions de 2.2, ainsi que les notations de ce paragraphe. On doit choisir
des χ-data pour chacun des tores T et T . Les conditions imposées à ces données
nous autorisent à les choisir unitaires. C’est-à-dire que, pour tout α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind ,
resp. α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind , χ α , resp. χ α , est un caractère unitaire de F
×
α . Il en résulte
immédiatement que les facteurs Δ II sont de module 1. On doit montrer qu’il en est
de même de Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ). Par définition, ce terme est la valeur en un certain
point du groupe H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) d’un certain caractère de ce groupe. Il suffit
de prouver que ce caractère est unitaire. On a une suite exacte
H
0 (Γ F ; S 1 ) → H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) → H
1 (Γ F ; U ).
Le dernier groupe est fini. Il en résulte qu’il suffit que notre caractère se pousse
par la suite précédente en un caractère unitaire de H
0 (Γ F ; S 1 ) = S 1 (F ). Considérons une extension galoisienne finie E de F sur laquelle nos groupes G, G
, T , T
sont déployés. L’image de l’homomorphisme norme S 1 (E) → S 1 (F ) est d’indice
fini. Il suffit donc que notre caractère de S 1 (F ) composé avec la norme soit un
caractère unitaire de S 1 (E). D’après les constructions et [48] (A.3.13) (où le signe
disparaît d’après [49] 4.3), le caractère de S 1 (F ) est l’accouplement avec l’élément
ˆ
V 1 ∈ H
1 (W F ; ˆ
S 1 ). En composant avec la norme, on obtient l’accouplement avec la
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On a ainsi défini un homomorphisme b
+ : W F → (Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 )
+ . On vérifie
immédiatement qu’il ne dépend pas du choix de l’extension E. Ce caractère se
pousse en un homomorphisme à valeurs dans Z( ˆ
G
1 ), lequel détermine un caractère
λ
+
G
1
de G
1 (F ), qui est clairement à valeurs dans R >0 . C’est le caractère évoqué au
début du paragraphe. Il est immédiat par construction que
(2) |λ 1 | est la restriction de λ
+
G
1
à C 1 (F ).
On a
(3) on peut choisir des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 de sorte que λ
+
G
1
soit trivial.
En effet, en partant de données auxiliaires quelconques G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 , on définit b
+ comme ci-dessus. On définit ensuite le plongement ˆ
ξ 2 par ˆ
ξ 2 (g, w) =
(b
+ (w)
−1 , 1) ˆ
ξ 1 (g, w) pour tout (g, w) ∈ G
. Les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 2 vérifient la
condition requise.
On dira que des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 sont unitaires si le caractère
associé λ
+
G
1
est trivial.
I.7.2 Unitarité du facteur de transfert
On suppose G
relevante et on fixe des données auxiliaires G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1 unitaires.
Lemme. On peut choisir un facteur de transfert Δ 1 à valeurs unitaires.
Preuve. Il suffit de prouver que le bifacteur canonique Δ 1 défini sur D 1 × D 1 est
à valeurs unitaires. Fixons donc deux couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 . On reprend
les constructions de 2.2, ainsi que les notations de ce paragraphe. On doit choisir
des χ-data pour chacun des tores T et T . Les conditions imposées à ces données
nous autorisent à les choisir unitaires. C’est-à-dire que, pour tout α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind ,
resp. α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind , χ α , resp. χ α , est un caractère unitaire de F
×
α . Il en résulte
immédiatement que les facteurs Δ II sont de module 1. On doit montrer qu’il en est
de même de Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ). Par définition, ce terme est la valeur en un certain
point du groupe H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) d’un certain caractère de ce groupe. Il suffit
de prouver que ce caractère est unitaire. On a une suite exacte
H
0 (Γ F ; S 1 ) → H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) → H
1 (Γ F ; U ).
Le dernier groupe est fini. Il en résulte qu’il suffit que notre caractère se pousse
par la suite précédente en un caractère unitaire de H
0 (Γ F ; S 1 ) = S 1 (F ). Considérons une extension galoisienne finie E de F sur laquelle nos groupes G, G
, T , T
sont déployés. L’image de l’homomorphisme norme S 1 (E) → S 1 (F ) est d’indice
fini. Il suffit donc que notre caractère de S 1 (F ) composé avec la norme soit un
caractère unitaire de S 1 (E). D’après les constructions et [48] (A.3.13) (où le signe
disparaît d’après [49] 4.3), le caractère de S 1 (F ) est l’accouplement avec l’élément
ˆ
V 1 ∈ H
1 (W F ; ˆ
S 1 ). En composant avec la norme, on obtient l’accouplement avec la