I.7. Unitarité, conjugaison complexe
169
restriction de ˆ
V 1 à W E . D’après les explications données en 7.1, il suffit de prouver
que, pour w ∈ W E , on a | ˆ
V 1 (w)| = 1. Par définition, on a l’égalité
ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V T1 (w), ˆ
V T 1 (w), t sc (w)),
cf. 2.2. Montrons que
(1) pour w ∈ W E , on a | ˆ
V T1 (w)| = 1.
L’élément ˆ
V T1 (w) est l’image dans le tore ˆ
T 1 de (ζ 1 (w), t T (w)). Les sections de
Springer disparaissent de la définition de t T (w) parce que les actions galoisiennes
sont triviales sur W E . Il reste t T (w) = ˆ
r T (w)g(w)
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 . Parce que l’on
a choisi des χ-data à valeurs unitaires, il résulte des définitions que |ˆ r T (w)| =
|ˆ r T,G (w)| = 1. D’où |t T (w)| = |g(w)|
−1 . Alors, | ˆ
V T1 (w)| n’est autre que |b(w)|,
avec les notations du paragraphe précédent. Or |b| est trivial puisqu’on a supposé
que les données auxiliaires étaient unitaires. D’où (1).
Le terme ˆ
V T 1 (w) est similaire à ˆ
V T1 (w). On a donc aussi | ˆ
V T 1 (w)| = 1 pour
w ∈ W E . Enfin, la définition de t sc (w) se simplifie car les sections de Springer
disparaissent sur W E . On voit que t sc (w) est un produit de facteurs provenant des
χ-data, lesquels sont unitaires parce que ces χ-data sont supposées unitaires. D’où
|t sc (w)| = 1 pour w ∈ W E . Cela prouve que | ˆ
V 1 (w)| = 1 pour w ∈ W E .
Remarque. Ne supposons plus les données auxiliaires unitaires et fixons un facteur
de transfert Δ 1 . Fixons un couple (δ 1 , γ) ∈ D 1 . Notons ˜
λ
+
G
1
l’unique fonction sur
˜
G
1 (F ) telle que
– ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) = |Δ 1 (δ 1 , γ)| ;
– ˜
λ
+
G
1
(xδ 1 ) = λ
+
G
1
(x) ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) pour tous x ∈ G
1 (F ) et δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ).
La preuve ci-dessus montre qu’alors |Δ 1 (δ 1 , γ)| = ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) pour tout (δ 1 , γ) ∈ D 1 .
Adjoignons à nos quatre premières données auxiliaires un facteur de transfert
Δ 1 . On dira que les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 sont unitaires quand
λ
+
G
1
est trivial et que Δ 1 est à valeurs unitaires.
I.7.3 Conjugaison complexe et intégrales orbitales
Au lieu du triplet (G, ˜
G, a), on peut considérer le triplet (G, ˜
G, a
−1 ). Le caractère
associé à a
−1 est ω
−1 = ¯
ω. Soit γ ∈ ˜
G(F ), fixons des mesures de Haar sur G(F )
et sur G γ (F ). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit les intégrales orbitales I
˜
G (γ, ω, f )
et I
˜
G (γ, ¯
ω, f ). Il est clair que l’on a l’égalité
I
˜
G (γ, ¯
ω, ¯
f ) = I
˜
G (γ, ω, f ).
L’application f → ¯
f se quotiente en un isomorphisme antilinéaire de I( ˜
G(F ), ω)
sur I( ˜
G(F ), ¯
ω). En rétablissant les espaces de mesures, on obtient un isomorphisme
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restriction de ˆ
V 1 à W E . D’après les explications données en 7.1, il suffit de prouver
que, pour w ∈ W E , on a | ˆ
V 1 (w)| = 1. Par définition, on a l’égalité
ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V T1 (w), ˆ
V T 1 (w), t sc (w)),
cf. 2.2. Montrons que
(1) pour w ∈ W E , on a | ˆ
V T1 (w)| = 1.
L’élément ˆ
V T1 (w) est l’image dans le tore ˆ
T 1 de (ζ 1 (w), t T (w)). Les sections de
Springer disparaissent de la définition de t T (w) parce que les actions galoisiennes
sont triviales sur W E . Il reste t T (w) = ˆ
r T (w)g(w)
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 . Parce que l’on
a choisi des χ-data à valeurs unitaires, il résulte des définitions que |ˆ r T (w)| =
|ˆ r T,G (w)| = 1. D’où |t T (w)| = |g(w)|
−1 . Alors, | ˆ
V T1 (w)| n’est autre que |b(w)|,
avec les notations du paragraphe précédent. Or |b| est trivial puisqu’on a supposé
que les données auxiliaires étaient unitaires. D’où (1).
Le terme ˆ
V T 1 (w) est similaire à ˆ
V T1 (w). On a donc aussi | ˆ
V T 1 (w)| = 1 pour
w ∈ W E . Enfin, la définition de t sc (w) se simplifie car les sections de Springer
disparaissent sur W E . On voit que t sc (w) est un produit de facteurs provenant des
χ-data, lesquels sont unitaires parce que ces χ-data sont supposées unitaires. D’où
|t sc (w)| = 1 pour w ∈ W E . Cela prouve que | ˆ
V 1 (w)| = 1 pour w ∈ W E .
Remarque. Ne supposons plus les données auxiliaires unitaires et fixons un facteur
de transfert Δ 1 . Fixons un couple (δ 1 , γ) ∈ D 1 . Notons ˜
λ
+
G
1
l’unique fonction sur
˜
G
1 (F ) telle que
– ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) = |Δ 1 (δ 1 , γ)| ;
– ˜
λ
+
G
1
(xδ 1 ) = λ
+
G
1
(x) ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) pour tous x ∈ G
1 (F ) et δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ).
La preuve ci-dessus montre qu’alors |Δ 1 (δ 1 , γ)| = ˜
λ
+
G
1
(δ 1 ) pour tout (δ 1 , γ) ∈ D 1 .
Adjoignons à nos quatre premières données auxiliaires un facteur de transfert
Δ 1 . On dira que les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 sont unitaires quand
λ
+
G
1
est trivial et que Δ 1 est à valeurs unitaires.
I.7.3 Conjugaison complexe et intégrales orbitales
Au lieu du triplet (G, ˜
G, a), on peut considérer le triplet (G, ˜
G, a
−1 ). Le caractère
associé à a
−1 est ω
−1 = ¯
ω. Soit γ ∈ ˜
G(F ), fixons des mesures de Haar sur G(F )
et sur G γ (F ). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit les intégrales orbitales I
˜
G (γ, ω, f )
et I
˜
G (γ, ¯
ω, f ). Il est clair que l’on a l’égalité
I
˜
G (γ, ¯
ω, ¯
f ) = I
˜
G (γ, ω, f ).
L’application f → ¯
f se quotiente en un isomorphisme antilinéaire de I( ˜
G(F ), ω)
sur I( ˜
G(F ), ¯
ω). En rétablissant les espaces de mesures, on obtient un isomorphisme