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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
antilinéaire f → ¯ f de I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) sur I( ˜
G(F ), ¯
ω) ⊗ Mes(G(F )). Dualement, on un isomorphisme antilinéaire γ → ¯
γ de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
sur D g´ eom ( ˜
G(F ), ¯
ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ : à la ω-intégrale orbitale définie par γ ∈ ˜
G(F )
et une mesure sur G γ (F ), il associe la ¯
ω-intégrale orbitale associée au même γ et
à la même mesure. On a l’égalité
I
˜
G (¯ γ, ¯ f ) = I
˜
G (γ, f )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)⊗Mes(G(F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗Mes(G(F )).
I.7.4 Conjugaison des données endoscopiques
Rappelons une construction générale. Soit H un groupe réductif connexe défini sur
un corps ¯
k algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit E une paire de Borel
épinglée de H dont le tore est noté T
H . On note w
H l’élément de plus grande
longueur du groupe de Weyl de H relativement à E. Alors il existe un unique
automorphisme ∇
H de H qui préserve E et tel que, pour t ∈ T
H , on ait l’égalité
∇
H (t) = w
H (t
−1 ). Cet automorphisme est involutif. Il est appelé antipode. Il
commute à tout automorphisme de H préservant E. Supposons que H soit défini
sur un corps k dont ¯
k est la clôture algébrique et que E soit conservée par le
groupe de Galois Γ k . Alors ∇
H est défini sur k. Pour notre groupe ˆ
G, on note ∇
ˆ
G
l’antipode relative à la paire de Borel épinglée ˆ
E fixée en 7.1. Elle se prolonge en
un automorphisme de
L G ou de ˆ
G ˆ
θ qui fixe ˆ
θ et agit trivialement sur W F .
Considérons notre donnée endoscopique G
de 7.1. Posons G
∇ = ∇
ˆ
G (G
),
˜
s ∇ = ∇
ˆ
G (˜ s). Le couple (G
∇ , ˜
s ∇ ) vérifie les conditions requises pour se compléter
en une donnée endoscopique G
∇ = (G
∇ , G
∇ , ˜
s ∇ ) de (G, ˜
G, a
−1 ). Remarquons
que l’on a ˜
s ∇ = w
ˆ
G (s
−1 ) ˆ
θ. On va montrer que l’on peut identifier le groupe G
∇
intervenant ci-dessus à G
. On a fixé une paire de Borel épinglée ˆ
E
de ˆ
G
, où
ici ˆ
G
est la composante neutre du commutant de ˜
s dans ˆ
G. Fixons une paire
de Borel épinglée E
= (B
, T
, (E
α ) α∈Δ ) de G
définie sur F . Rappelons que,
dire que ˆ
G
est le groupe dual de G
signifie que l’on a fixé des isomorphismes
j : X ∗ (T
) → X
∗ ( ˆ
T
), resp. ˆ j : X ∗ ( ˆ
T
) → X
∗ (T
), en dualité, équivariants pour les
actions galoisiennes, qui envoient les coracines positives pour B
, resp. ˆ
B
, sur les
racines positives pour ˆ
B
, resp. B
. La composante neutre ˆ
G
∇ du commutant de ˜
s ∇
dans ˆ
G est égale à ∇
ˆ
G ( ˆ
G
). Il est muni de la paire de Borel épinglée ˆ
E
∇ = ∇
ˆ
G ( ˆ
E
),
dont la paire de Borel sous-jacente est ( ˆ
B
∇ , ˆ
T
∇ ) = ( ˆ
B ∩ ∇
ˆ
G ( ˆ
G
), ˆ
T
ˆ
θ,0 ). Comme
toujours, on munit ˆ
G
∇ de l’action galoisienne associée à G
∇ et qui préserve ˆ
E
∇ .
Il est clair que ∇
ˆ
G se restreint en un isomorphisme ˆ
G
→ ˆ
G
∇ qui est équivariant
pour les actions galoisiennes. Notons ∇
G
l’antipode de G
relative à E
. Définissons
j ∇ : X ∗ (T
) → X
∗ ( ˆ
T
∇ ) et ˆ j ∇ : X ∗ ( ˆ
T
∇ ) → X
∗ (T
) par j ∇ = ∇
ˆ
G
◦ j ◦ ∇
G
et
ˆ j ∇ = ∇
G
◦ ˆ j ◦ ∇
ˆ
G . On voit que ces isomorphismes vérifient les conditions requises
pour identifier ˆ
G
∇ au groupe dual de G
. On peut donc identifier ainsi G
∇ à G
et