I.7. Unitarité, conjugaison complexe
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la donnée endoscopique G
∇ de (G, ˜
G, a
−1 ) devient G
∇ = (G
, G
∇ , ˜
s ∇ ). On a fixé
la paire de Borel épinglée E
mais on voit que la construction n’en dépend pas. De
même, la condition que E
est conservée par l’action galoisienne est inessentielle : il
suffit de remplacer cette action naturelle par l’action quasi-déployée associée à E
.
Considérons des paires de Borel (B, T ) de G et (B
, T
) de G
. Parce que
G
est une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a), on construit un homomorphisme
ξ B,T,B ,T : T → T
, cf. 1.6. Parce que G
∇ est une donnée endoscopique de
(G, ˜
G, a
−1 ), on construit de même un homomorphisme ξ B,T,B ,T ,∇ : T → T
.
En général, ces homomorphismes ne sont pas égaux. Par contre, introduisons les
Borel ¯
B et ¯
B
opposés à B et B
relativement à T et T
. On a alors
(1) ξ B,T,B ,T ,∇ = ξ ¯
B,T, ¯
B ,T .
Preuve. On a comme ci-dessus des isomorphismes J : X ∗ (T ) → X
∗ ( ˆ
T ) et ˆ
J :
X ∗ ( ˆ
T ) → X
∗ (T ). Ils dépendent de la paire de Borel (B, T ), on les note plutôt
J B,T et ˆ
J B,T . On précise de même la notation des isomorphismes j et ˆ j intervenant
plus haut. Rappelons que ξ B,T,B ,T se déduit par définition de l’homomorphisme
j
−1
B ,T ◦ ˆ
ξ ◦ J B,T : X ∗ (T ) → X ∗ (T
), où ˆ
ξ : X
∗ ( ˆ
T ) → X
∗ ( ˆ
T
) est la restriction.
Puisque ( ¯
B, T ) = w
G (B, T ), le groupe de Weyl étant ici relatif à la paire (B, T ), on
a l’égalité J ¯
B,T = J B,T ◦w
G = w
ˆ
G
◦J B,T . Pour tout tore R, on note indistinctement
ι l’automorphisme x → x
−1 de R. Sur ˆ
T , on a l’égalité ∇
ˆ
G = ι ◦ w
ˆ
G . D’où J ¯
B,T =
ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ J B,T . De même, j ¯
B ,T = j B ,T ◦ w
G
= j B ,T ◦ ι ◦ ∇
G
= ι ◦ j B ,T ◦ ∇
G
.
On en déduit
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = j
−1
¯
B ,T ◦ ˆ
ξ ◦ J ¯
B,T = ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ι ◦ ˆ
ξ ◦ ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ J B,T .
Remarquons que ˆ
ξ ne change pas quand on remplace (G, ˜
G, a) et G
par
(G, ˜
G, a
−1 ) et G
∇ puisque ˆ
T
∇ = ˆ
T
ˆ
θ,0 = ˆ
T
. On a aussi ˆ
ξ ◦ ι ◦ ∇
ˆ
G = ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ ˆ
ξ.
L’égalité ci-dessus devient
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ∇
ˆ
G
◦ ˆ
ξ ◦ J B,T .
Mais ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ∇
ˆ
G = j
−1
B ,T ,∇ , d’où
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = j
−1
B ,T ,∇ ◦ ˆ
ξ ◦ J B,T = ξ B,T,B ,T ,∇ .
Cela prouve (1).
D’un homomorphisme ξ B,T,B ,T se déduit par restriction un homomorphisme
Z(G) → Z(G
) qui ne dépend pas des paires de Borel. De même, on a un homomorphisme Z(G) → Z(G
∇ ) = Z(G
). D’après (1), ils sont égaux. Rappelons que
l’espace endoscopique ˜
G
est égal à G
× Z( ˜
G) quotienté par l’action «antidiagonale» de Z(G). Le résultat précédent montre que l’isomorphisme que l’on a
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la donnée endoscopique G
∇ de (G, ˜
G, a
−1 ) devient G
∇ = (G
, G
∇ , ˜
s ∇ ). On a fixé
la paire de Borel épinglée E
mais on voit que la construction n’en dépend pas. De
même, la condition que E
est conservée par l’action galoisienne est inessentielle : il
suffit de remplacer cette action naturelle par l’action quasi-déployée associée à E
.
Considérons des paires de Borel (B, T ) de G et (B
, T
) de G
. Parce que
G
est une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a), on construit un homomorphisme
ξ B,T,B ,T : T → T
, cf. 1.6. Parce que G
∇ est une donnée endoscopique de
(G, ˜
G, a
−1 ), on construit de même un homomorphisme ξ B,T,B ,T ,∇ : T → T
.
En général, ces homomorphismes ne sont pas égaux. Par contre, introduisons les
Borel ¯
B et ¯
B
opposés à B et B
relativement à T et T
. On a alors
(1) ξ B,T,B ,T ,∇ = ξ ¯
B,T, ¯
B ,T .
Preuve. On a comme ci-dessus des isomorphismes J : X ∗ (T ) → X
∗ ( ˆ
T ) et ˆ
J :
X ∗ ( ˆ
T ) → X
∗ (T ). Ils dépendent de la paire de Borel (B, T ), on les note plutôt
J B,T et ˆ
J B,T . On précise de même la notation des isomorphismes j et ˆ j intervenant
plus haut. Rappelons que ξ B,T,B ,T se déduit par définition de l’homomorphisme
j
−1
B ,T ◦ ˆ
ξ ◦ J B,T : X ∗ (T ) → X ∗ (T
), où ˆ
ξ : X
∗ ( ˆ
T ) → X
∗ ( ˆ
T
) est la restriction.
Puisque ( ¯
B, T ) = w
G (B, T ), le groupe de Weyl étant ici relatif à la paire (B, T ), on
a l’égalité J ¯
B,T = J B,T ◦w
G = w
ˆ
G
◦J B,T . Pour tout tore R, on note indistinctement
ι l’automorphisme x → x
−1 de R. Sur ˆ
T , on a l’égalité ∇
ˆ
G = ι ◦ w
ˆ
G . D’où J ¯
B,T =
ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ J B,T . De même, j ¯
B ,T = j B ,T ◦ w
G
= j B ,T ◦ ι ◦ ∇
G
= ι ◦ j B ,T ◦ ∇
G
.
On en déduit
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = j
−1
¯
B ,T ◦ ˆ
ξ ◦ J ¯
B,T = ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ι ◦ ˆ
ξ ◦ ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ J B,T .
Remarquons que ˆ
ξ ne change pas quand on remplace (G, ˜
G, a) et G
par
(G, ˜
G, a
−1 ) et G
∇ puisque ˆ
T
∇ = ˆ
T
ˆ
θ,0 = ˆ
T
. On a aussi ˆ
ξ ◦ ι ◦ ∇
ˆ
G = ι ◦ ∇
ˆ
G
◦ ˆ
ξ.
L’égalité ci-dessus devient
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ∇
ˆ
G
◦ ˆ
ξ ◦ J B,T .
Mais ∇
G
◦ j
−1
B ,T ◦ ∇
ˆ
G = j
−1
B ,T ,∇ , d’où
ξ ¯
B,T, ¯
B ,T = j
−1
B ,T ,∇ ◦ ˆ
ξ ◦ J B,T = ξ B,T,B ,T ,∇ .
Cela prouve (1).
D’un homomorphisme ξ B,T,B ,T se déduit par restriction un homomorphisme
Z(G) → Z(G
) qui ne dépend pas des paires de Borel. De même, on a un homomorphisme Z(G) → Z(G
∇ ) = Z(G
). D’après (1), ils sont égaux. Rappelons que
l’espace endoscopique ˜
G
est égal à G
× Z( ˜
G) quotienté par l’action «antidiagonale» de Z(G). Le résultat précédent montre que l’isomorphisme que l’on a