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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
construit entre G
et G
∇ se prolonge en un isomorphisme entre ˜
G
et l’espace
endoscopique ˜
G
∇ .
On a introduit en 1.10 la notion de diagramme. Montrons que
(2) soit (, B
, T
, B, T, η) un diagramme pour (G, ˜
G, a) et G
; alors
(, ¯
B
, T
, ¯
B, T, η)
est un diagramme pour (G, ˜
G, a
−1 ) et G
∇ .
Preuve. On se reporte à la définition de 1.10. Les conditions (1) à (4) se transfèrent
aussitôt du premier sextuplet au second. La condition (5) pour le second sextuplet
est que ξ ¯
B,T, ¯
B ,T ,∇ doit être défini sur F . Grâce à (1) ci-dessus, cela résulte de
la même condition pour le premier sextuplet. Complétons (B, T ) en une paire
de Borel épinglée E, fixons un élément e ∈ Z( ˜
G, E) et notons e
son image dans
Z( ˜
G
). On écrit η = te avec t ∈ T . La condition (6) pour le premier sextuplet
est que = ξ B,T,B ,T (t)e. Introduisons la section de Springer n E relative à E, cf.
[59] 2.1. Posons n = n E (w
G ) et E ∇ = ad n (E). La paire de Borel sous-jacente à E ∇
est ( ¯
B, T ). L’automorphisme ad e conserve w
G et E donc fixe n. Il en résulte que
l’on a encore e ∈ Z( ˜
G, E ∇ ) et que l’image de e dans Z( ˜
G) est la même qu’on la
calcule à l’aide de E ou de E ∇ . Le remplacement de E par E ∇ ne change pas la
décomposition η = te ni l’image e
de e dans Z( ˜
G
). Ainsi la condition (6) pour le
second sextuplet est que = ξ ¯
B,T, ¯
B ,T ,∇ (t)e
. Cela résulte de la même condition
pour le premier sextuplet et de (1) ci-dessus.
Il résulte de (2) que G
est relevante pour (G, ˜
G, a) si et seulement si G
∇ est
relevante pour (G, ˜
G, a
−1 ). Il est d’autre part clair par construction que G
est
elliptique si et seulement si G
∇ l’est.
I.7.5 Données auxiliaires
Fixons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
. Les trois premières données
vérifient évidemment les conditions requises pour faire partie de données auxiliaires
pour G
∇ . Rappelons que ˆ
ξ 1 est un plongement G
→
L G
1 qui prolonge un plongement ˆ
G
→ ˆ
G
1 dual de la projection G
1 → G
. Par ce plongement, la paire de
Borel épinglée ˆ
E
se prolonge naturellement en une paire de Borel épinglée ˆ
E
1 de
ˆ
G
1 dont on note ( ˆ
B
1 , ˆ
T
1 ) la paire de Borel sous-jacente. On introduit l’antipode
∇
ˆ
G
1 de ˆ
G
1 relative à ˆ
E
1 , que l’on prolonge en un automorphisme de
L G
1 . On pose
ˆ
ξ 1,∇ = ∇
ˆ
G
1 ◦ ˆ
ξ 1 ◦ ∇
ˆ
G . C’est un homomorphisme de G
∇ dans
L G
1 . Montrons que
(1) G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ sont des données auxiliaires pour G
∇ .
Preuve. La seule chose à vérifier est que la restriction de ˆ
ξ 1,∇ au groupe dual de
G
est un plongement dual de la projection G
1 → G
. On reprend les constructions et notations du paragraphe précédent. En particulier, on fixe une paire de
Borel épinglée E
de G
, disons définie sur F . Elle détermine une telle paire E
1 de
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
construit entre G
et G
∇ se prolonge en un isomorphisme entre ˜
G
et l’espace
endoscopique ˜
G
∇ .
On a introduit en 1.10 la notion de diagramme. Montrons que
(2) soit (, B
, T
, B, T, η) un diagramme pour (G, ˜
G, a) et G
; alors
(, ¯
B
, T
, ¯
B, T, η)
est un diagramme pour (G, ˜
G, a
−1 ) et G
∇ .
Preuve. On se reporte à la définition de 1.10. Les conditions (1) à (4) se transfèrent
aussitôt du premier sextuplet au second. La condition (5) pour le second sextuplet
est que ξ ¯
B,T, ¯
B ,T ,∇ doit être défini sur F . Grâce à (1) ci-dessus, cela résulte de
la même condition pour le premier sextuplet. Complétons (B, T ) en une paire
de Borel épinglée E, fixons un élément e ∈ Z( ˜
G, E) et notons e
son image dans
Z( ˜
G
). On écrit η = te avec t ∈ T . La condition (6) pour le premier sextuplet
est que = ξ B,T,B ,T (t)e. Introduisons la section de Springer n E relative à E, cf.
[59] 2.1. Posons n = n E (w
G ) et E ∇ = ad n (E). La paire de Borel sous-jacente à E ∇
est ( ¯
B, T ). L’automorphisme ad e conserve w
G et E donc fixe n. Il en résulte que
l’on a encore e ∈ Z( ˜
G, E ∇ ) et que l’image de e dans Z( ˜
G) est la même qu’on la
calcule à l’aide de E ou de E ∇ . Le remplacement de E par E ∇ ne change pas la
décomposition η = te ni l’image e
de e dans Z( ˜
G
). Ainsi la condition (6) pour le
second sextuplet est que = ξ ¯
B,T, ¯
B ,T ,∇ (t)e
. Cela résulte de la même condition
pour le premier sextuplet et de (1) ci-dessus.
Il résulte de (2) que G
est relevante pour (G, ˜
G, a) si et seulement si G
∇ est
relevante pour (G, ˜
G, a
−1 ). Il est d’autre part clair par construction que G
est
elliptique si et seulement si G
∇ l’est.
I.7.5 Données auxiliaires
Fixons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
. Les trois premières données
vérifient évidemment les conditions requises pour faire partie de données auxiliaires
pour G
∇ . Rappelons que ˆ
ξ 1 est un plongement G
→
L G
1 qui prolonge un plongement ˆ
G
→ ˆ
G
1 dual de la projection G
1 → G
. Par ce plongement, la paire de
Borel épinglée ˆ
E
se prolonge naturellement en une paire de Borel épinglée ˆ
E
1 de
ˆ
G
1 dont on note ( ˆ
B
1 , ˆ
T
1 ) la paire de Borel sous-jacente. On introduit l’antipode
∇
ˆ
G
1 de ˆ
G
1 relative à ˆ
E
1 , que l’on prolonge en un automorphisme de
L G
1 . On pose
ˆ
ξ 1,∇ = ∇
ˆ
G
1 ◦ ˆ
ξ 1 ◦ ∇
ˆ
G . C’est un homomorphisme de G
∇ dans
L G
1 . Montrons que
(1) G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ sont des données auxiliaires pour G
∇ .
Preuve. La seule chose à vérifier est que la restriction de ˆ
ξ 1,∇ au groupe dual de
G
est un plongement dual de la projection G
1 → G
. On reprend les constructions et notations du paragraphe précédent. En particulier, on fixe une paire de
Borel épinglée E
de G
, disons définie sur F . Elle détermine une telle paire E
1 de