I.7. Unitarité, conjugaison complexe
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G
1 dont on note le tore T
1 . On dispose de l’isomorphisme ˆ j : X ∗ ( ˆ
T
) → X
∗ (T
).
De même, puisque ˆ
G
1 est le groupe dual de G
1 , les paires E
1 et ˆ
E
1 déterminent
un isomorphisme ˆ j 1 : X ∗ ( ˆ
T
1 ) → X
∗ (T
1 ). La projection T
1 → T
détermine un
homomorphisme i : X
∗ (T
) → X
∗ (T
1 ). Le plongement ˆ
ξ 1 détermine un homomorphisme encore noté ˆ
ξ 1 : X ∗ ( ˆ
T ) → X ∗ ( ˆ
T
1 ). On sait que la restriction de ˆ
ξ 1 à ˆ
G
est le plongement dual de la projection G
1 → G
. Cela implique que le diagramme
suivant est commutatif
(2)
X ∗ ( ˆ
T
)
ˆ j
→ X
∗ (T
)
ˆ
ξ 1 ↓
↓i
X ∗ ( ˆ
T
1 )
ˆ j1
→ X
∗ (T
1 ) .
Quand on remplace G
par G
∇ , le groupe ˆ
G
est remplacé par ˆ
G
∇ . On a expliqué
comment on identifiait ce groupe au groupe dual de G
: l’homomorphisme ˆ j est
remplacé par ˆ j ∇ . Le plongement ˆ
ξ 1 étant remplacé par ˆ
ξ 1,∇ , le diagramme ci-dessus
est remplacé par
(3)
X ∗ ( ˆ
T
∇ )
ˆ j∇
→ X
∗ (T
)
ˆ
ξ 1,∇ ↓
↓i
X ∗ ( ˆ
T
1 )
ˆ j1
→ X
∗ (T
1 ) .
Montrons qu’il est commutatif. Par définition, on a
i ◦ ˆ j ∇ = i ◦ ∇
G
◦ ˆ j ◦ ∇
ˆ
G .
En notant ∇
G
1 l’antipode de G
1 relative à E
1 , on voit que i ◦ ∇
G
= ∇
G
1 ◦ i. D’où
i ◦ ˆ j ∇ = ∇
G
1 ◦ i ◦ ˆ j ◦ ∇
ˆ
G .
D’autre part,
ˆ j 1 ◦ ˆ
ξ 1,∇ = ˆ j 1 ◦ ∇
ˆ
G
1 ◦ ˆ
ξ 1 ◦ ∇
ˆ
G .
On vérifie que ˆ j 1 ◦ ∇
ˆ
G
1 = ∇
G
1 ◦ ˆ j 1 . D’où
ˆ j 1 ◦ ˆ
ξ 1,∇ = ∇
G
1 ◦ ˆ j 1 ◦ ˆ
ξ 1 ◦ ∇
ˆ
G .
La commutativité de (3) équivaut à l’égalité i ◦ ˆ j ∇ = ˆ j 1 ◦ ˆ
ξ 1,∇ . D’après les formules
précédentes, elle résulte de la même égalité issue de la commutativité de (2).
Cela prouve la commutativité de (3). Celle-ci n’équivaut pas tout-à-fait au fait
que la restriction de ˆ
ξ 1,∇ au groupe dual de G
est un plongement dual de la
projection G
1 → G
. Il faut aussi vérifier que ˆ
ξ 1,∇ fait se correspondre les racines et,
dualement, les coracines. Mais cela résulte immédiatement des mêmes propriétés
pour le plongement initial ˆ
ξ 1 . Cela prouve (1).