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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Aux données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ pour G
∇ sont associés un caractère
λ 1,∇ de C 1 (F ) et un caractère λ
+
G
1 ,∇ de G
1 (F ) à valeurs positives. On a
(4) λ 1,∇ = λ
−1
1 et λ
+
G
1 ,∇ = (λ
+
G
1
)
−1 .
Preuve. Pour w ∈ W F , on choisit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw coïncide sur ˆ
G
avec l’action w G . On pose ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w) et on note z C1 (w) l’image de ζ 1 (w)
dans ˆ
C 1 . Le caractère λ 1 est associé au cocycle w → z C1 (w). Pour les données de
G
∇ , on peut remplacer g w par ∇
ˆ
G (g w ) et on remplace ˆ
ξ 1 par ˆ
ξ 1,∇ . En appliquant
les définitions, on voit que ζ 1 (w) est remplacé par ζ 1,∇ (w) = ∇
ˆ
G
1 (ζ 1 (w)). La
projection ˆ
G
1 → ˆ
C 1 entrelace ∇
ˆ
G
1 avec l’application x → x
−1 sur ˆ
C 1 . Donc
z C1 (w) est remplacé par z C1,∇ (w) = z C1 (w)
−1 . Le caractère associé λ 1,∇ est donc
remplacé par l’inverse de λ 1 . Cela prouve la première égalité de (4). La seconde se
prouve de façon analogue, en reprenant les définitions de 7.4.
Proposition. Supposons G
relevante. Soient G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 des données auxiliaires unitaires pour G
. Alors G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ , Δ 1,∇ = Δ
−1
1
sont des données
auxiliaires unitaires pour G
∇ .
Preuve. En vertu de (1) et (4), l’assertion est simplement que Δ
−1
1 est un facteur
de transfert pour les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ de G
∇ . Cela équivaut à
dire que le bifacteur canonique Δ 1,∇ associé à ces données est l’inverse du bifacteur
Δ 1 associé aux données initiales de G
. C’est ce que l’on va vérifier. On fixe des
couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 . On note δ l’image de δ 1 dans ˜
G
(F ). On fixe un
diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) relatif à la donnée G
. On complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E et on fixe e ∈ Z( ˜
G, E). On note e
l’image de e dans Z( ˜
G
)
et on fixe un relèvement e
1 de e
dans Z( ˜
G
1 ). Pour σ ∈ Γ F , on fixe u E (σ) ∈ G SC tel
que ad uE (σ) ◦σ conserve E. On fixe des a-data (a α ) α∈Σ(T ) res,ind relatives à l’action
galoisienne naturelle sur T . Le choix de la paire (B, T ) identifie algébriquement
ˆ
T au tore dual de T et on munit ˆ
T de l’action galoisienne σ → σ ˆ
T = ω ˆ
T (σ)σ ˆ
G
de sorte que ˆ
T , muni de cette action, soit le tore dual de T muni de son action
galoisienne naturelle.
Remarque. On modifie très légèrement les notations de 2.2. Dans ce paragraphe,
on a noté σ T au lieu de σ ˆ
T . Ici, on va faire varier l’identification de ˆ
T au tore dual
de T et cela nécessite une notation un peu plus précise.
On fixe des χ-data (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
pour cette action. On introduit des objets
analogues pour le couple (δ 1 , γ), que l’on note en les soulignant. On doit imposer
qu’il existe r ∈ G SC , que l’on fixe, de sorte que ad r (E) = E, e = ad r (e) et u E (σ) =
ru E (σ)σ(r)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Ces choix étant faits, on définit Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ),
cf. 2.2.
On doit faire des choix analogues pour les mêmes couples, mais pour la
donnée G
∇ . On choisit pour diagramme (δ, ¯
B
, T
, ¯
B, T, γ), cf. 7.4(2). Introduisons
la section de Springer n E relative à E. On pose n = n E (w
G ) et E ∇ = ad n (E). Cette
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Aux données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ pour G
∇ sont associés un caractère
λ 1,∇ de C 1 (F ) et un caractère λ
+
G
1 ,∇ de G
1 (F ) à valeurs positives. On a
(4) λ 1,∇ = λ
−1
1 et λ
+
G
1 ,∇ = (λ
+
G
1
)
−1 .
Preuve. Pour w ∈ W F , on choisit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw coïncide sur ˆ
G
avec l’action w G . On pose ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w) et on note z C1 (w) l’image de ζ 1 (w)
dans ˆ
C 1 . Le caractère λ 1 est associé au cocycle w → z C1 (w). Pour les données de
G
∇ , on peut remplacer g w par ∇
ˆ
G (g w ) et on remplace ˆ
ξ 1 par ˆ
ξ 1,∇ . En appliquant
les définitions, on voit que ζ 1 (w) est remplacé par ζ 1,∇ (w) = ∇
ˆ
G
1 (ζ 1 (w)). La
projection ˆ
G
1 → ˆ
C 1 entrelace ∇
ˆ
G
1 avec l’application x → x
−1 sur ˆ
C 1 . Donc
z C1 (w) est remplacé par z C1,∇ (w) = z C1 (w)
−1 . Le caractère associé λ 1,∇ est donc
remplacé par l’inverse de λ 1 . Cela prouve la première égalité de (4). La seconde se
prouve de façon analogue, en reprenant les définitions de 7.4.
Proposition. Supposons G
relevante. Soient G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 des données auxiliaires unitaires pour G
. Alors G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ , Δ 1,∇ = Δ
−1
1
sont des données
auxiliaires unitaires pour G
∇ .
Preuve. En vertu de (1) et (4), l’assertion est simplement que Δ
−1
1 est un facteur
de transfert pour les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1,∇ de G
∇ . Cela équivaut à
dire que le bifacteur canonique Δ 1,∇ associé à ces données est l’inverse du bifacteur
Δ 1 associé aux données initiales de G
. C’est ce que l’on va vérifier. On fixe des
couples (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 . On note δ l’image de δ 1 dans ˜
G
(F ). On fixe un
diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) relatif à la donnée G
. On complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E et on fixe e ∈ Z( ˜
G, E). On note e
l’image de e dans Z( ˜
G
)
et on fixe un relèvement e
1 de e
dans Z( ˜
G
1 ). Pour σ ∈ Γ F , on fixe u E (σ) ∈ G SC tel
que ad uE (σ) ◦σ conserve E. On fixe des a-data (a α ) α∈Σ(T ) res,ind relatives à l’action
galoisienne naturelle sur T . Le choix de la paire (B, T ) identifie algébriquement
ˆ
T au tore dual de T et on munit ˆ
T de l’action galoisienne σ → σ ˆ
T = ω ˆ
T (σ)σ ˆ
G
de sorte que ˆ
T , muni de cette action, soit le tore dual de T muni de son action
galoisienne naturelle.
Remarque. On modifie très légèrement les notations de 2.2. Dans ce paragraphe,
on a noté σ T au lieu de σ ˆ
T . Ici, on va faire varier l’identification de ˆ
T au tore dual
de T et cela nécessite une notation un peu plus précise.
On fixe des χ-data (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
pour cette action. On introduit des objets
analogues pour le couple (δ 1 , γ), que l’on note en les soulignant. On doit imposer
qu’il existe r ∈ G SC , que l’on fixe, de sorte que ad r (E) = E, e = ad r (e) et u E (σ) =
ru E (σ)σ(r)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Ces choix étant faits, on définit Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ),
cf. 2.2.
On doit faire des choix analogues pour les mêmes couples, mais pour la
donnée G
∇ . On choisit pour diagramme (δ, ¯
B
, T
, ¯
B, T, γ), cf. 7.4(2). Introduisons
la section de Springer n E relative à E. On pose n = n E (w
G ) et E ∇ = ad n (E). Cette