I.7. Unitarité, conjugaison complexe
175
paire de Borel épinglée complète ( ¯
B, T ). Comme on l’a remarqué dans la preuve
de 7.4(2), on a encore e ∈ Z( ˜
G, E ∇ ), on peut donc conserver le même élément e.
Cet élément a même image dans Z( ˜
G), que l’on calcule cette image à l’aide de E
ou E ∇ . On peut donc conserver les mêmes éléments e
et e
1 . Montrons que
(5) on peut choisir u E∇ (σ) = u E (σ) pour tout σ ∈ Γ F .
Il s’agit de montrer que E ∇ est conservée par l’action quasi-déployée σ →
σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ. Puisque cette action conserve E et que E ∇ = ad n (E), il suffit de
montrer que cette action fixe n. Or l’action agit de façon équivariante sur la section
de Springer, c’est-à-dire σ G ∗ (n E (w)) = n E (σ G ∗ (w)) pour tous σ ∈ Γ F et w ∈ W .
D’autre part, w
G est fixe par l’action quasi-déployée. Cela démontre l’assertion.
L’action galoisienne naturelle sur T ne change pas, mais on choisit de nouvelles a-data (a α,∇ ) α∈Σ(T ) res,ind définies par a α,∇ = a
−1
−α . Un point délicat est que
l’identification de ˆ
T au tore dual algébrique de T change car on utilise maintenant
la paire de Borel ( ¯
B, T ). Pour clarifier la situation, notons ˆ
T ∇ le tore ˆ
T vu comme
dual algébrique de T à l’aide de cette paire. Il s’identifie par t → w
ˆ
G (t) au tore
ˆ
T vu comme dual algébrique de T à l’aide de la paire initiale (B, T ). Pour faire
de ˆ
T ∇ le dual de T muni de son action galoisienne naturelle, il faut le munir de
l’action σ → σ ˆ
T ,∇ = w
ˆ
G
◦ σ ˆ
T ◦ w
ˆ
G . Mais ∇
ˆ
G coïncide sur ˆ
T avec l’action de
w
ˆ
G composée avec l’inversion t → t
−1 . Puisque cette inversion commute à σ ˆ
T ,
on a aussi bien σ ˆ
T ,∇ = ∇
ˆ
G
◦ σ ˆ
T ◦ ∇
ˆ
G . En écrivant σ ˆ
T ,∇ = ω ˆ
T ,∇ (σ) ◦ σ ˆ
G , on
obtient ω ˆ
T ,∇ (σ) = ∇
ˆ
G (ω ˆ
T (σ)) puisque ∇
ˆ
G commute à l’action galoisienne sur
ˆ
G. On choisit les χ-data (χ α,∇ ) α∈Σ( ˆ
T∇) res,ind
définies par χ α,∇ = χ ∇
ˆ
G (α) . On fait
des choix analogues pour (δ 1 , γ). On a fixé ci-dessus un élément r ∈ G SC vérifiant
ad r (E) = E. Il résulte de cette égalité que ad r envoie n = n E (w
G ) sur n = n E (w
G ).
D’où aussi ad r (E ∇ ) = E ∇ . Autrement dit, on peut garder, et on garde, le même
élément r. Puisqu’on a conservé les éléments e et u E (σ), on conserve aussi les
éléments e = ad r (e) et u E (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 . Ces choix étant faits, on définit le
bifacteur Δ 1,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
On utilise les notations de 2.2. Les tores U et S 1 sur F sont les mêmes pour
les deux facteurs de transfert. Montrons que
(6) le cocycle (V, ν 1 ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) est le même pour les deux facteurs
de transfert.
Le terme ν 1 se construit à l’aide des décompositions γ = νe et δ 1 = μ 1 e
1 .
Puisqu’on ne change ni e, ni e
1 , ces décompositions ne changent pas et ν 1 non
plus. Le terme V est construit à l’aide des cocycles V T et V T . On doit montrer que
ces cocycles ne changent pas. Il suffit de considérer V T . Pour σ ∈ Γ F , on a
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
On a déjà dit que le terme u E (σ) ne changeait pas. Donc ω T (σ), qui est son image
dans W , ne change pas non plus. Pour prouver que n E (ω T (σ)) ne change pas, il
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paire de Borel épinglée complète ( ¯
B, T ). Comme on l’a remarqué dans la preuve
de 7.4(2), on a encore e ∈ Z( ˜
G, E ∇ ), on peut donc conserver le même élément e.
Cet élément a même image dans Z( ˜
G), que l’on calcule cette image à l’aide de E
ou E ∇ . On peut donc conserver les mêmes éléments e
et e
1 . Montrons que
(5) on peut choisir u E∇ (σ) = u E (σ) pour tout σ ∈ Γ F .
Il s’agit de montrer que E ∇ est conservée par l’action quasi-déployée σ →
σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ. Puisque cette action conserve E et que E ∇ = ad n (E), il suffit de
montrer que cette action fixe n. Or l’action agit de façon équivariante sur la section
de Springer, c’est-à-dire σ G ∗ (n E (w)) = n E (σ G ∗ (w)) pour tous σ ∈ Γ F et w ∈ W .
D’autre part, w
G est fixe par l’action quasi-déployée. Cela démontre l’assertion.
L’action galoisienne naturelle sur T ne change pas, mais on choisit de nouvelles a-data (a α,∇ ) α∈Σ(T ) res,ind définies par a α,∇ = a
−1
−α . Un point délicat est que
l’identification de ˆ
T au tore dual algébrique de T change car on utilise maintenant
la paire de Borel ( ¯
B, T ). Pour clarifier la situation, notons ˆ
T ∇ le tore ˆ
T vu comme
dual algébrique de T à l’aide de cette paire. Il s’identifie par t → w
ˆ
G (t) au tore
ˆ
T vu comme dual algébrique de T à l’aide de la paire initiale (B, T ). Pour faire
de ˆ
T ∇ le dual de T muni de son action galoisienne naturelle, il faut le munir de
l’action σ → σ ˆ
T ,∇ = w
ˆ
G
◦ σ ˆ
T ◦ w
ˆ
G . Mais ∇
ˆ
G coïncide sur ˆ
T avec l’action de
w
ˆ
G composée avec l’inversion t → t
−1 . Puisque cette inversion commute à σ ˆ
T ,
on a aussi bien σ ˆ
T ,∇ = ∇
ˆ
G
◦ σ ˆ
T ◦ ∇
ˆ
G . En écrivant σ ˆ
T ,∇ = ω ˆ
T ,∇ (σ) ◦ σ ˆ
G , on
obtient ω ˆ
T ,∇ (σ) = ∇
ˆ
G (ω ˆ
T (σ)) puisque ∇
ˆ
G commute à l’action galoisienne sur
ˆ
G. On choisit les χ-data (χ α,∇ ) α∈Σ( ˆ
T∇) res,ind
définies par χ α,∇ = χ ∇
ˆ
G (α) . On fait
des choix analogues pour (δ 1 , γ). On a fixé ci-dessus un élément r ∈ G SC vérifiant
ad r (E) = E. Il résulte de cette égalité que ad r envoie n = n E (w
G ) sur n = n E (w
G ).
D’où aussi ad r (E ∇ ) = E ∇ . Autrement dit, on peut garder, et on garde, le même
élément r. Puisqu’on a conservé les éléments e et u E (σ), on conserve aussi les
éléments e = ad r (e) et u E (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 . Ces choix étant faits, on définit le
bifacteur Δ 1,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
On utilise les notations de 2.2. Les tores U et S 1 sur F sont les mêmes pour
les deux facteurs de transfert. Montrons que
(6) le cocycle (V, ν 1 ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) est le même pour les deux facteurs
de transfert.
Le terme ν 1 se construit à l’aide des décompositions γ = νe et δ 1 = μ 1 e
1 .
Puisqu’on ne change ni e, ni e
1 , ces décompositions ne changent pas et ν 1 non
plus. Le terme V est construit à l’aide des cocycles V T et V T . On doit montrer que
ces cocycles ne changent pas. Il suffit de considérer V T . Pour σ ∈ Γ F , on a
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
On a déjà dit que le terme u E (σ) ne changeait pas. Donc ω T (σ), qui est son image
dans W , ne change pas non plus. Pour prouver que n E (ω T (σ)) ne change pas, il