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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
suffit de prouver que n E∇ = n E . Il suffit de prouver que n E∇ (s) = n E (s) pour
une symétrie simple s ∈ W . Puisque E ∇ = ad n (E), on a forcément n E∇ (s) =
nn E (w
G sw
G )n
−1 . Posons s
= w
G sw
G , qui est aussi une symétrie simple. Rappelons que n = n E (w
G ). Alors
n E∇ (s) = n E (w
G )n E (s
)n E (w
G )
−1 = n E (s)n E (sw
G )n E (s
)n E (w
G )
−1
car les longueurs de s et sw
G s’ajoutent,
n E∇ (s) = n E (s)n E (w
G s
)n E (s
)n E (w
G )
−1 = n E (s)n E (w
G )n E (w
G )
−1
car les longueurs de w
G s
et s
s’ajoutent, d’où n E∇ (s) = n E (s) comme annoncé.
Enfin, on a
r T (σ) =
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a α ).
La positivité est relative à B. Pour le deuxième facteur de transfert, la positivité
est relative à ¯
B. Autrement dit, en conservant la positivité relative à B, le produit
porte sur les α < 0 tels que σ
−1 (α) > 0. Le terme a α est remplacé par a α,∇ . On
obtient
α∈Σ(T ),α<0,σ −1 (α)>0
ˇ
α(a α,∇ ).
En remplaçant α par −α, on obtient
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a
−1
−α,∇ ).
Puisque a
−1
−α,∇ = a α par définition, on retrouve r T (σ), ce qui prouve (6).
Les tores complexes ˆ
S 1 et ˆ
U ne sont pas les mêmes pour les deux facteurs de
transfert. On conserve ces notations ˆ
S 1 et ˆ
U pour le premier facteur et on note
ˆ
S 1,∇ et ˆ
U ∇ leurs avatars pour le deuxième facteur. Algébriquement, ce sont les
mêmes tores. Ce qui change, c’est d’une part les actions galoisiennes, d’autre part
l’identification de ces tores aux tores duaux de S 1 et U . Considérons la cochaîne
t T : W F → ˆ
T définie par
t T (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω ˆ
T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω ˆ
T ,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
Son avatar est la cochaîne t T,∇ : W F → ˆ
T ∇ définie par
t T,∇ (w) = ˆ
r T,∇ (w)ˆ n(ω ˆ
T ,∇ (w))g ∇ (w)
−1 ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w))
−1 ˆ
r T,G
∇
(w)
−1 .
Par définition de G
∇ = ∇
ˆ
G (G
), on peut supposer g ∇ (w) = ∇
ˆ
G (g(w)). On a vu
ci-dessus que ω ˆ
T ,∇ (w) = ∇
ˆ
G (ω ˆ
T (w)).
Puisque ∇
ˆ
G conserve ˆ
E, il en résulte que ˆ
n(ω ˆ
T ,∇ (w)) = ∇
ˆ
G (ˆ n(ω ˆ
T (w))).
Puisque les actions σ → σ ˆ
T et σ → σ ˆ
T ,∇ se déduisent l’une de l’autre par l’opéra-
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
suffit de prouver que n E∇ = n E . Il suffit de prouver que n E∇ (s) = n E (s) pour
une symétrie simple s ∈ W . Puisque E ∇ = ad n (E), on a forcément n E∇ (s) =
nn E (w
G sw
G )n
−1 . Posons s
= w
G sw
G , qui est aussi une symétrie simple. Rappelons que n = n E (w
G ). Alors
n E∇ (s) = n E (w
G )n E (s
)n E (w
G )
−1 = n E (s)n E (sw
G )n E (s
)n E (w
G )
−1
car les longueurs de s et sw
G s’ajoutent,
n E∇ (s) = n E (s)n E (w
G s
)n E (s
)n E (w
G )
−1 = n E (s)n E (w
G )n E (w
G )
−1
car les longueurs de w
G s
et s
s’ajoutent, d’où n E∇ (s) = n E (s) comme annoncé.
Enfin, on a
r T (σ) =
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a α ).
La positivité est relative à B. Pour le deuxième facteur de transfert, la positivité
est relative à ¯
B. Autrement dit, en conservant la positivité relative à B, le produit
porte sur les α < 0 tels que σ
−1 (α) > 0. Le terme a α est remplacé par a α,∇ . On
obtient
α∈Σ(T ),α<0,σ −1 (α)>0
ˇ
α(a α,∇ ).
En remplaçant α par −α, on obtient
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a
−1
−α,∇ ).
Puisque a
−1
−α,∇ = a α par définition, on retrouve r T (σ), ce qui prouve (6).
Les tores complexes ˆ
S 1 et ˆ
U ne sont pas les mêmes pour les deux facteurs de
transfert. On conserve ces notations ˆ
S 1 et ˆ
U pour le premier facteur et on note
ˆ
S 1,∇ et ˆ
U ∇ leurs avatars pour le deuxième facteur. Algébriquement, ce sont les
mêmes tores. Ce qui change, c’est d’une part les actions galoisiennes, d’autre part
l’identification de ces tores aux tores duaux de S 1 et U . Considérons la cochaîne
t T : W F → ˆ
T définie par
t T (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω ˆ
T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω ˆ
T ,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
Son avatar est la cochaîne t T,∇ : W F → ˆ
T ∇ définie par
t T,∇ (w) = ˆ
r T,∇ (w)ˆ n(ω ˆ
T ,∇ (w))g ∇ (w)
−1 ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w))
−1 ˆ
r T,G
∇
(w)
−1 .
Par définition de G
∇ = ∇
ˆ
G (G
), on peut supposer g ∇ (w) = ∇
ˆ
G (g(w)). On a vu
ci-dessus que ω ˆ
T ,∇ (w) = ∇
ˆ
G (ω ˆ
T (w)).
Puisque ∇
ˆ
G conserve ˆ
E, il en résulte que ˆ
n(ω ˆ
T ,∇ (w)) = ∇
ˆ
G (ˆ n(ω ˆ
T (w))).
Puisque les actions σ → σ ˆ
T et σ → σ ˆ
T ,∇ se déduisent l’une de l’autre par l’opéra-