I.7. Unitarité, conjugaison complexe
177
teur ∇
ˆ
G et qu’on a choisi des χ-data (χ α,∇ ) α∈Σ( ˆ
T∇) res,ind
se déduisant aussi par cet
opérateur des χ-data initiales (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
, on voit que ˆ
r T,∇ (w) = ∇
ˆ
G (ˆ r T (w)).
Les éléments ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w)) et ˆ
r T,G
∇
(w) sont construits à l’aide du groupe ˆ
G
∇ =
∇
ˆ
G ( ˆ
G
), de la paire de Borel épinglée ˆ
E
∇ = ∇
ˆ
G ( ˆ
E
), de l’action galoisienne transportée par ∇
ˆ
G et, encore une fois, des χ-data transportées par le même opérateur.
Par transport de structure, on voit que ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w)) = ∇
ˆ
G (ˆ n G (ω ˆ
T ,G (w))) et
ˆ
r T,G
∇
(w) = ∇
ˆ
G (ˆ r T,G (w)). Il résulte de ces calculs que t T,∇ (w) = ∇
ˆ
G (t T (w)). Le
même résultat vaut pour les autres constituants du cocycle ˆ
V 1 : W F → ˆ
S 1 . L’automorphisme ∇
ˆ
G s’étend par fonctorialité en un automorphisme de ˆ
S 1 et le cocycle
ˆ
V 1,∇ : W F → ˆ
S 1,∇ n’est autre que ˆ
V 1,∇ (w) = ∇
ˆ
G ( ˆ
V 1 (w)). De même, puisque
s ∇ = ∇
ˆ
G (s), l’élément s ∈ ˆ
U est remplacé par s ∇ = ∇
ˆ
G (s). D’où
(7) ( ˆ
V 1,∇ , s ∇ ) = ∇
ˆ
G ( ˆ
V 1 , s),
avec une notation compréhensible. Rappelons que le terme Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) est
l’inverse du produit
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
,
où il s’agit de l’accouplement sur
H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
Cet accouplement vient bien sûr de l’identification de ˆ
S 1 et ˆ
U aux tores duaux de
S 1 et U . Le terme Δ imp,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) se calcule de même à l’aide de l’accouplement
sur
H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1,∇
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ∇ ).
Mais on a vu que l’identification de ˆ
S 1,∇ et ˆ
U ∇ aux tores duaux de S 1 et U
provient des isomorphismes naturels ˆ
S 1,∇ ˆ
S 1 et ˆ
U ∇ ˆ
U composés avec les
automorphismes déduits par fonctorialité, non pas de l’automorphisme ∇
ˆ
G , mais
de l’automorphisme w
ˆ
G . Pour comparer les deux facteurs de transfert, on utilise
un unique accouplement, à savoir le premier. Cela signifie que l’on doit transporter
( ˆ
V 1,∇ , s ∇ ) par cet automorphisme déduit de w
ˆ
G . Puisque celui-ci coïncide avec ∇
ˆ
G
composé avec l’automorphisme t → t
−1 , l’assertion (7) entraîne que ( ˆ
V 1,∇ , s ∇ )
s’identifie ainsi avec l’inverse de ( ˆ
V 1 , s). Cela conduit à l’égalité
(8) Δ imp,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 .
Considérons le facteur Δ II (δ, γ) associé à la donnée G
. On a une égalité
Δ II (δ, γ) =
α
Δ II,α (δ, γ),
où α parcourt un ensemble de représentants des orbites de l’action de Γ F dans
Σ(T ) res,ind . Il y a quatre cas possibles pour ces orbites. Traitons seulement le cas
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teur ∇
ˆ
G et qu’on a choisi des χ-data (χ α,∇ ) α∈Σ( ˆ
T∇) res,ind
se déduisant aussi par cet
opérateur des χ-data initiales (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
, on voit que ˆ
r T,∇ (w) = ∇
ˆ
G (ˆ r T (w)).
Les éléments ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w)) et ˆ
r T,G
∇
(w) sont construits à l’aide du groupe ˆ
G
∇ =
∇
ˆ
G ( ˆ
G
), de la paire de Borel épinglée ˆ
E
∇ = ∇
ˆ
G ( ˆ
E
), de l’action galoisienne transportée par ∇
ˆ
G et, encore une fois, des χ-data transportées par le même opérateur.
Par transport de structure, on voit que ˆ
n G
∇
(ω ˆ
T ,G
∇
(w)) = ∇
ˆ
G (ˆ n G (ω ˆ
T ,G (w))) et
ˆ
r T,G
∇
(w) = ∇
ˆ
G (ˆ r T,G (w)). Il résulte de ces calculs que t T,∇ (w) = ∇
ˆ
G (t T (w)). Le
même résultat vaut pour les autres constituants du cocycle ˆ
V 1 : W F → ˆ
S 1 . L’automorphisme ∇
ˆ
G s’étend par fonctorialité en un automorphisme de ˆ
S 1 et le cocycle
ˆ
V 1,∇ : W F → ˆ
S 1,∇ n’est autre que ˆ
V 1,∇ (w) = ∇
ˆ
G ( ˆ
V 1 (w)). De même, puisque
s ∇ = ∇
ˆ
G (s), l’élément s ∈ ˆ
U est remplacé par s ∇ = ∇
ˆ
G (s). D’où
(7) ( ˆ
V 1,∇ , s ∇ ) = ∇
ˆ
G ( ˆ
V 1 , s),
avec une notation compréhensible. Rappelons que le terme Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) est
l’inverse du produit
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
,
où il s’agit de l’accouplement sur
H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
Cet accouplement vient bien sûr de l’identification de ˆ
S 1 et ˆ
U aux tores duaux de
S 1 et U . Le terme Δ imp,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) se calcule de même à l’aide de l’accouplement
sur
H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1,∇
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ∇ ).
Mais on a vu que l’identification de ˆ
S 1,∇ et ˆ
U ∇ aux tores duaux de S 1 et U
provient des isomorphismes naturels ˆ
S 1,∇ ˆ
S 1 et ˆ
U ∇ ˆ
U composés avec les
automorphismes déduits par fonctorialité, non pas de l’automorphisme ∇
ˆ
G , mais
de l’automorphisme w
ˆ
G . Pour comparer les deux facteurs de transfert, on utilise
un unique accouplement, à savoir le premier. Cela signifie que l’on doit transporter
( ˆ
V 1,∇ , s ∇ ) par cet automorphisme déduit de w
ˆ
G . Puisque celui-ci coïncide avec ∇
ˆ
G
composé avec l’automorphisme t → t
−1 , l’assertion (7) entraîne que ( ˆ
V 1,∇ , s ∇ )
s’identifie ainsi avec l’inverse de ( ˆ
V 1 , s). Cela conduit à l’égalité
(8) Δ imp,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 .
Considérons le facteur Δ II (δ, γ) associé à la donnée G
. On a une égalité
Δ II (δ, γ) =
α
Δ II,α (δ, γ),
où α parcourt un ensemble de représentants des orbites de l’action de Γ F dans
Σ(T ) res,ind . Il y a quatre cas possibles pour ces orbites. Traitons seulement le cas