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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(a), en laissant les autres au lecteur. Ce cas est celui où α est la restriction d’une
racine β ∈ Σ(T ) de type 1 telle que (N ˆ
β)(s) = 1. Dans ce cas, on a
Δ II,α (δ, γ) = χ α
(N β)(ν) − 1
a α
.
L’élément ˆ
β est la racine de ˆ
T qui correspond à β par la bijection Σ(T ) Σ( ˆ
T )
déterminée par la paire (B, T ). De même, χ α = χ ˆ
α , où ˆ
α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind correspond à
α par la bijection analogue. Considérons maintenant le facteur Δ II,∇ (δ, γ) associé
à la donnée G
∇ . C’est un produit sur le même ensemble de représentants que
ci-dessus de termes Δ II,α,∇ (δ, γ). Soit α dans cet ensemble et soit β ∈ Σ(T ) dont
la restriction est α. Il correspond maintenant à β une racine ˆ
β ∇ de ˆ
T par la
bijection déterminée par la paire ( ¯
B, T ). Donc ˆ
β ∇ = w
ˆ
G ( ˆ
β) = −∇
ˆ
G ( ˆ
β). Le cas
(a) est maintenant celui où β est de type 1 telle que (N ˆ
β ∇ )(s ∇ ) = 1. Puisque
s ∇ = ∇
ˆ
G (s), ces conditions sont équivalentes aux précédentes : si α est du cas (a)
pour le premier facteur, il est aussi du cas (a) pour le second. Supposons qu’il en
soit ainsi. Puisque β et ν n’ont pas changé, on a alors
Δ II,α,∇ (δ, γ) = χ α,∇
(N β)(ν) − 1
a α,∇
.
On a χ α,∇ = χ ˆ
α∇,∇ , où ˆ
α ∇ correspond à α par la bijection déterminée par la
paire ( ¯
B, T ). Comme ci-dessus, on a ˆ
α ∇ = −∇
ˆ
G (ˆ α). Alors, par définition, χ α,∇ =
χ
−1
ˆ
α = χ
−1
α . En utilisant la définition a α,∇ = a
−1
−α , on obtient
Δ II,α,∇ (δ, γ) = χ
−1
α ((N β)(ν) − 1)a −α ) = Δ II,α (δ, γ)
−1 χ
−1
α (a α a −α ).
L’orbite de α sous l’action de Γ F peut être symétrique, c’est-à-dire peut contenir
−α, ou non. Dans le premier cas, on introduit les sous-groupes Γ α et Γ ±α des
éléments de Γ F qui conservent α, resp. {±α}. On introduit les corps F α et F ±α
des points fixes par Γ α et Γ ±α . Il y a un élément σ ∈ Γ ±α tel que −α = σ(α).
Alors a −α = a σ(α) = σ(a α ). L’élément a α a −α est donc une norme de l’extension
F α /F ±α . Par définition des χ-data, on a alors χ α (a α a −α ) = 1, d’où Δ II,α,∇ (δ, γ) =
Δ II,α (δ, γ)
−1 . Dans le cas d’une orbite non symétrique, on peut supposer que
l’orbite opposée est représentée par −α. Puisque χ −α = χ
−1
α , on obtient tout de
suite
Δ II,α,∇ (δ, γ)Δ II,−α,∇ (δ, γ) = Δ II,α (δ, γ)
−1 Δ II,−α (δ, γ)
−1 .
Ces calculs conduisent à l’égalité
Δ II,∇ (δ, γ) = Δ II (δ, γ)
−1 .
On a une formule similaire pour l’autre couple (δ, γ). Jointes à (8), elles conduisent
à l’égalité
Δ 1,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 ,
ce qui achève la démonstration.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(a), en laissant les autres au lecteur. Ce cas est celui où α est la restriction d’une
racine β ∈ Σ(T ) de type 1 telle que (N ˆ
β)(s) = 1. Dans ce cas, on a
Δ II,α (δ, γ) = χ α
(N β)(ν) − 1
a α
.
L’élément ˆ
β est la racine de ˆ
T qui correspond à β par la bijection Σ(T ) Σ( ˆ
T )
déterminée par la paire (B, T ). De même, χ α = χ ˆ
α , où ˆ
α ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind correspond à
α par la bijection analogue. Considérons maintenant le facteur Δ II,∇ (δ, γ) associé
à la donnée G
∇ . C’est un produit sur le même ensemble de représentants que
ci-dessus de termes Δ II,α,∇ (δ, γ). Soit α dans cet ensemble et soit β ∈ Σ(T ) dont
la restriction est α. Il correspond maintenant à β une racine ˆ
β ∇ de ˆ
T par la
bijection déterminée par la paire ( ¯
B, T ). Donc ˆ
β ∇ = w
ˆ
G ( ˆ
β) = −∇
ˆ
G ( ˆ
β). Le cas
(a) est maintenant celui où β est de type 1 telle que (N ˆ
β ∇ )(s ∇ ) = 1. Puisque
s ∇ = ∇
ˆ
G (s), ces conditions sont équivalentes aux précédentes : si α est du cas (a)
pour le premier facteur, il est aussi du cas (a) pour le second. Supposons qu’il en
soit ainsi. Puisque β et ν n’ont pas changé, on a alors
Δ II,α,∇ (δ, γ) = χ α,∇
(N β)(ν) − 1
a α,∇
.
On a χ α,∇ = χ ˆ
α∇,∇ , où ˆ
α ∇ correspond à α par la bijection déterminée par la
paire ( ¯
B, T ). Comme ci-dessus, on a ˆ
α ∇ = −∇
ˆ
G (ˆ α). Alors, par définition, χ α,∇ =
χ
−1
ˆ
α = χ
−1
α . En utilisant la définition a α,∇ = a
−1
−α , on obtient
Δ II,α,∇ (δ, γ) = χ
−1
α ((N β)(ν) − 1)a −α ) = Δ II,α (δ, γ)
−1 χ
−1
α (a α a −α ).
L’orbite de α sous l’action de Γ F peut être symétrique, c’est-à-dire peut contenir
−α, ou non. Dans le premier cas, on introduit les sous-groupes Γ α et Γ ±α des
éléments de Γ F qui conservent α, resp. {±α}. On introduit les corps F α et F ±α
des points fixes par Γ α et Γ ±α . Il y a un élément σ ∈ Γ ±α tel que −α = σ(α).
Alors a −α = a σ(α) = σ(a α ). L’élément a α a −α est donc une norme de l’extension
F α /F ±α . Par définition des χ-data, on a alors χ α (a α a −α ) = 1, d’où Δ II,α,∇ (δ, γ) =
Δ II,α (δ, γ)
−1 . Dans le cas d’une orbite non symétrique, on peut supposer que
l’orbite opposée est représentée par −α. Puisque χ −α = χ
−1
α , on obtient tout de
suite
Δ II,α,∇ (δ, γ)Δ II,−α,∇ (δ, γ) = Δ II,α (δ, γ)
−1 Δ II,−α (δ, γ)
−1 .
Ces calculs conduisent à l’égalité
Δ II,∇ (δ, γ) = Δ II (δ, γ)
−1 .
On a une formule similaire pour l’autre couple (δ, γ). Jointes à (8), elles conduisent
à l’égalité
Δ 1,∇ (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 ,
ce qui achève la démonstration.