I.7. Unitarité, conjugaison complexe
179
I.7.6 Conjugaison complexe et transfert
Supposons G
relevante, fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 unitaires pour
la donnée G
. On introduit la donnée endoscopique G
∇ et les données auxiliaries G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1,∇ , Δ 1,∇ de la proposition précédente. Fixons des mesures de
Haar sur G(F ) et G
(F ). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). On sait définir le transfert de
f
˜
G
1 ∈ SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) de f pour la donnée G
. On peut aussi définir le transfert
de f pour la donnée G
∇ . Pour plus de précision, notons-le f
˜
G
1,∇ . C’est un élément de SI¯ λ1 ( ˜
G
1 (F )). D’autre part, l’application ϕ → ¯
ϕ envoie C
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F )) sur
C
∞
¯
λ1
( ˜
G
1 (F )). Cette application se quotiente en un isomorphisme antilinéaire de
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) sur SI¯ λ1 ( ˜
G
1 (F )) que l’on note encore ϕ → ¯
ϕ.
Corollaire. Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on a l’égalité
f
˜
G
1 = ( ¯
f )
˜
G
1,∇ .
Preuve. Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ) un élément fortement ˜
G-régulier. Fixons une mesure de
Haar sur G
δ (F ), où δ est la projection de δ 1 dans G
(F ). On a les égalités
SI¯ λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 ) = SI λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 )
= d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
où γ parcourt les éléments de ˜
G(F ) correspondant à δ, modulo conjugaison par
G(F ). Grâce à 7.3 et la proposition 7.5, ceci se récrit
SI¯ λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 ) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1,∇ (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ¯
ω, ¯
f ).
La notion de correspondance ne changeant pas quand on passe de G
à G
∇ (cf.
7.4(2)), ceci n’est autre que SI¯ λ1 (δ 1 , ( ¯
f )
˜
G
1,∇ ). D’où le corollaire.
I.7.7 Formalisation du résultat
Supposons G
relevante et considérons deux séries de données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1
et G
2 ,. . .,Δ 2 toutes deux unitaires.
D’après 2.5, il y a un isomorphisme C
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
λ2 ( ˜
G
2 (F )) qui est donné
par une fonction de transition ˜
λ 1,2 . On note ˜
G
12 le produit fibré de ˜
G
1 et ˜
G
2 audessus de ˜
G
et, de même, G
12 le produit fibré de G
1 et G
2 au-dessus de G
. La
fonction ˜
λ 12 est définie sur ˜
G
12 (F ), se transforme par G
12 (F ) selon un caractère
λ 12 et vérifie l’égalité
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ)
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I.7.6 Conjugaison complexe et transfert
Supposons G
relevante, fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 unitaires pour
la donnée G
. On introduit la donnée endoscopique G
∇ et les données auxiliaries G
1 ,. . ., ˆ
ξ 1,∇ , Δ 1,∇ de la proposition précédente. Fixons des mesures de
Haar sur G(F ) et G
(F ). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). On sait définir le transfert de
f
˜
G
1 ∈ SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) de f pour la donnée G
. On peut aussi définir le transfert
de f pour la donnée G
∇ . Pour plus de précision, notons-le f
˜
G
1,∇ . C’est un élément de SI¯ λ1 ( ˜
G
1 (F )). D’autre part, l’application ϕ → ¯
ϕ envoie C
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F )) sur
C
∞
¯
λ1
( ˜
G
1 (F )). Cette application se quotiente en un isomorphisme antilinéaire de
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) sur SI¯ λ1 ( ˜
G
1 (F )) que l’on note encore ϕ → ¯
ϕ.
Corollaire. Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on a l’égalité
f
˜
G
1 = ( ¯
f )
˜
G
1,∇ .
Preuve. Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ) un élément fortement ˜
G-régulier. Fixons une mesure de
Haar sur G
δ (F ), où δ est la projection de δ 1 dans G
(F ). On a les égalités
SI¯ λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 ) = SI λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 )
= d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
où γ parcourt les éléments de ˜
G(F ) correspondant à δ, modulo conjugaison par
G(F ). Grâce à 7.3 et la proposition 7.5, ceci se récrit
SI¯ λ1 (δ 1 , f
˜
G
1 ) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1,∇ (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ¯
ω, ¯
f ).
La notion de correspondance ne changeant pas quand on passe de G
à G
∇ (cf.
7.4(2)), ceci n’est autre que SI¯ λ1 (δ 1 , ( ¯
f )
˜
G
1,∇ ). D’où le corollaire.
I.7.7 Formalisation du résultat
Supposons G
relevante et considérons deux séries de données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1
et G
2 ,. . .,Δ 2 toutes deux unitaires.
D’après 2.5, il y a un isomorphisme C
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
λ2 ( ˜
G
2 (F )) qui est donné
par une fonction de transition ˜
λ 1,2 . On note ˜
G
12 le produit fibré de ˜
G
1 et ˜
G
2 audessus de ˜
G
et, de même, G
12 le produit fibré de G
1 et G
2 au-dessus de G
. La
fonction ˜
λ 12 est définie sur ˜
G
12 (F ), se transforme par G
12 (F ) selon un caractère
λ 12 et vérifie l’égalité
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ)