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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
pour tous (δ 1 , γ) ∈ D 1 et δ 2 ayant même image que δ 1 dans G
(F ). En reprenant
la définition du caractère λ 12 , un calcul similaire à celui de 7.2 montre que celui-ci
est unitaire. Les facteurs Δ 1 et Δ 2 étant à valeurs unitaires, ˜
λ 12 est aussi à valeurs
unitaires.
On déduit de nos deux séries de données des données auxiliaries G
1 ,. . .,Δ 1,∇
et G
2 ,. . .,Δ 2,∇ pour la donnée G
∇ . D’où un isomorphisme
C
∞
¯
λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
¯
λ2 ( ˜
G
2 (F ))
donné par une fonction de transition ˜
λ 12,∇ . Un calcul similaire à ceux déjà faits
montre que λ 12,∇ = ¯
λ 12 . Il en résulte que ˜
λ 12,∇ =
¯ ˜
λ 12 . On voit alors que le
diagramme suivant est commutatif
C
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
λ2 ( ˜
G
2 (F ))
↓
↓
C
∞
¯
λ1
( ˜
G
1 (F )) C
∞
¯
λ2
( ˜
G
2 (F ))
où les flèches verticales sont les applications f → ¯
f . Cela entraîne que ces applications se recollent et donnent un isomorphisme antilinéaire
C
∞
c (G
) → C
∞
c (G
∇ )
f
→
¯
f
entre les espaces formels introduits en 2.5. Cet isomorphisme se descend en un
isomorphisme antilinéaire SI(G
) → SI(G
∇ ) ou, en rétablissant les espaces de
mesures, SI(G
) ⊗ Mes(G
(F )) → SI(G
∇ ) ⊗ Mes(G
(F )). Dualement, on a un
isomorphisme antilinéaire D
st
g´ eom (G
)⊗Mes(G
(F ))
∗
D
st
g´ eom (G
∇ )⊗Mes(G
(F ))
∗
noté δ → ¯
δ : en fixant des données auxiliaires comme en 7.5, il envoie l’intégrale
orbitale stable associée à un élément δ 1 assez régulier et à une mesure sur G
δ (F )
(appliquée à des fonctions se transformant par le caractère λ 1 de C 1 (F )) sur la
même intégrale orbitale stable (mais appliquée à des fonctions se transformant par
le caractère ¯
λ 1 de C 1 (F )). Pour δ ∈ D
st
g´ eom (G
) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ et f ∈ SI(G
) ⊗
Mes(G
(F )), on a l’égalité
S
G
∇ ( ¯
δ, ¯ f ) = S G (δ, f ).
Le corollaire 7.6 se formalise par la commutativité du diagramme
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
f → ¯ f
→ I( ˜
G(F ), ¯
ω) ⊗ Mes(G(F ))
transfert ↓
↓ transfert
SI(G
) ⊗ Mes(G
(F ))
f → ¯ f
→
SI(G
∇ ) ⊗ Mes(G
(F )).