Chapitre II
Intégrales orbitales et endoscopie
sur un corps local non-archimédien ;
définitions et énoncés des résultats
Introduction
Dans ce chapitre, on donne les définitions des termes locaux intervenant dans la
partie géométrique de la formule des traces tordue, sous la restriction que le corps
local de base F est supposé non-archimédien. On énonce les principaux résultats
concernant ces objets. Les deux plus importants, à savoir les théorèmes 1.10 et
1.16, ainsi que quelques autres, ne seront pas démontrés ici mais seulement énoncés
comme assertions à prouver. Le théorème 1.10 sera déduit dans le chapitre suivant
des résultats d’Arthur. La preuve du théorème 1.16 nécessite un argument global,
elle ne sera donnée que dans le chapitre X.
On utilise les notations introduites dans le premier chapitre [I]. Considérons
un triplet (G, ˜
G, a) comme dans celui-ci. Le terme G est un groupe réductif connexe
sur F , ˜
G est un espace tordu sous G et a est un élément de H
1 (Γ F ; Z( ˆ
G)), qui
détermine un caractère ω de G(F ). Dans la première section, on commence par
définir les objets de base, à savoir, pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, les intégrales
orbitales pondérées J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) et leurs avatars ω-équivariants I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Pour
cela, nous suivons bien sûr Arthur mais nous modifions un peu ses définitions.
Expliquons cela en considérons le cas ˜
G = G = SO(7), a = 1, ˜
M = M =
GL(2) × SO(3). Nous ne changeons rien aux définitions d’Arthur pour un élément
γ ∈ M (F ) qui est G-équisingulier, c’est-à-dire tel que G γ = M γ (on note par
exemple G γ la composante neutre du centralisateur de γ dans G). Le changement
concerne les éléments non-équisinguliers, par exemple l’élément γ = 1. Soit (B, T )
une paire de Borel de G définie sur F , telle que M soit standard pour cette paire.
Notons g et t les algèbres de Lie de G et T et notons Σ(T ) l’ensemble des racines
de T dans g. On identifie t(F ) à F
3 de sorte que Σ(T ) s’identifie à l’ensemble
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _2
Progress in Mathematics 316, DOI
181
© Springer International Publishing Switzerland 2016
Intégrales orbitales et endoscopie
sur un corps local non-archimédien ;
définitions et énoncés des résultats
Introduction
Dans ce chapitre, on donne les définitions des termes locaux intervenant dans la
partie géométrique de la formule des traces tordue, sous la restriction que le corps
local de base F est supposé non-archimédien. On énonce les principaux résultats
concernant ces objets. Les deux plus importants, à savoir les théorèmes 1.10 et
1.16, ainsi que quelques autres, ne seront pas démontrés ici mais seulement énoncés
comme assertions à prouver. Le théorème 1.10 sera déduit dans le chapitre suivant
des résultats d’Arthur. La preuve du théorème 1.16 nécessite un argument global,
elle ne sera donnée que dans le chapitre X.
On utilise les notations introduites dans le premier chapitre [I]. Considérons
un triplet (G, ˜
G, a) comme dans celui-ci. Le terme G est un groupe réductif connexe
sur F , ˜
G est un espace tordu sous G et a est un élément de H
1 (Γ F ; Z( ˆ
G)), qui
détermine un caractère ω de G(F ). Dans la première section, on commence par
définir les objets de base, à savoir, pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, les intégrales
orbitales pondérées J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) et leurs avatars ω-équivariants I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Pour
cela, nous suivons bien sûr Arthur mais nous modifions un peu ses définitions.
Expliquons cela en considérons le cas ˜
G = G = SO(7), a = 1, ˜
M = M =
GL(2) × SO(3). Nous ne changeons rien aux définitions d’Arthur pour un élément
γ ∈ M (F ) qui est G-équisingulier, c’est-à-dire tel que G γ = M γ (on note par
exemple G γ la composante neutre du centralisateur de γ dans G). Le changement
concerne les éléments non-équisinguliers, par exemple l’élément γ = 1. Soit (B, T )
une paire de Borel de G définie sur F , telle que M soit standard pour cette paire.
Notons g et t les algèbres de Lie de G et T et notons Σ(T ) l’ensemble des racines
de T dans g. On identifie t(F ) à F
3 de sorte que Σ(T ) s’identifie à l’ensemble
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _2
Progress in Mathematics 316, DOI
181
© Springer International Publishing Switzerland 2016