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Chapitre II. Enoncés des résultats
{±α i,±j ; 1 ≤ i < j ≤ 3} ∪ {±α i ; 1 ≤ i ≤ 3} de formes linéaires sur t(F ), où
• α i,j (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i − x j ;
• α i,−j (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i + x j ;
• α i (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i .
Les racines dans M sont ±α 1,2 et ±α 3 . Introduisons l’algèbre de Lie a M
du centre de M . Alors a M (F ) = {h(x); x ∈ F }, où h(x) = (x, x, 0). Les racines
ci-dessus se restreignent à ce sous-espace en 0, ±β ou ±2β, où β(h(x)) = x. On
pose
l β (x) = |e
β(h(x))
− e
−β(h(x))
| F , l 2β (x) = |e
2β(h(x))
− e
−2β(h(x))
| F .
Pour x = 0 mais assez voisin de 0, l’élément exp(h(x)) ∈ M (F ) est G-équisingulier.
Pour f ∈ C
∞
c (G(F )), l’intégrale orbitale pondérée J
G
M (exp(h(x)), f) est bien définie, ainsi que J
G
G (exp(h(x)), f) = I
G (exp(h(x)), f). Arthur montre qu’il existe un
réel k
G
M , nécessairement unique, de sorte que, pour tout f , l’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) + k
G
M l β (x)I
G (exp(h(x)), f)
ait une limite quand x tend vers 0. Il définit J
G
M (1, f) comme étant cette limite.
Pour des raisons de compatibilité à l’induction, il nous semble préférable de ne pas
privilégier la racine indivisible β mais de répartir plutôt le coefficient k
G
M sur les
deux racines β et 2β. Pour cela, considérons l’ensemble des éléments de Σ(T ) qui
se restreignent en un multiple entier de 2β. Ce sont ±α 1,2 , ±α 1,−2 et ±α 3 . C’est
le système de racines d’un sous-groupe G 2β = SO(4) × SO(3) de G qui contient
M . On a de même un nombre réel k
G 2β
M . Considérons l’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) +
(k
G
M − k
G 2β
M )l β (x) + k
G 2β
M l 2β (x)
I
G (exp(h(x)), f).
Elle a encore une limite quand x tend vers 0, qui est égale à la précédente, plus
k
G 2β
M log(|2| F )I
G (1, f). C’est cette limite que nous notons J
G
M (1, f).
On s’aperçoit que le procédé admet diverses variantes. Par exemple, fixons
un rationnel b > 0. On peut remplacer dans la formule ci-dessus l β (x) et l 2β (x)
par l β (bx) et l 2β (bx).
Il y a encore une limite, égale à la précédente plus k
G
M log(|b| F )I
G (1, f).
On la note J
G
M (1, B, f), B désignant la fonction constante sur Σ(T ) de valeur b.
Plus subtilement, considérons la fonction B sur Σ(T ) définie par B(±α i,j ) = 1,
B(±α i,−j ) = 1, B(±α i ) = 1/2. Cette fonction est proportionnelle au carré de la
longueur usuelle. Pour α ∈ Σ(T ),
α
B(α) est encore une forme linéaire sur t(F ). Les
restrictions de ces formes à a M (F ) sont encore 0, ±β, ±2β. Considérons l’ensemble
des α telles que la restriction de
α
B(α) soit un multiple entier de 2β. Il est formé
de ±α 1,2 , ±α 1,−2 , α 1 , α 2 , α 3 . C’est le système de racines d’un groupe G 2β,B =
SO(5) × SO(3). Ce n’est plus un sous-groupe de G, mais il contient encore M .
Chapitre II. Enoncés des résultats
{±α i,±j ; 1 ≤ i < j ≤ 3} ∪ {±α i ; 1 ≤ i ≤ 3} de formes linéaires sur t(F ), où
• α i,j (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i − x j ;
• α i,−j (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i + x j ;
• α i (x 1 , x 2 , x 3 ) = x i .
Les racines dans M sont ±α 1,2 et ±α 3 . Introduisons l’algèbre de Lie a M
du centre de M . Alors a M (F ) = {h(x); x ∈ F }, où h(x) = (x, x, 0). Les racines
ci-dessus se restreignent à ce sous-espace en 0, ±β ou ±2β, où β(h(x)) = x. On
pose
l β (x) = |e
β(h(x))
− e
−β(h(x))
| F , l 2β (x) = |e
2β(h(x))
− e
−2β(h(x))
| F .
Pour x = 0 mais assez voisin de 0, l’élément exp(h(x)) ∈ M (F ) est G-équisingulier.
Pour f ∈ C
∞
c (G(F )), l’intégrale orbitale pondérée J
G
M (exp(h(x)), f) est bien définie, ainsi que J
G
G (exp(h(x)), f) = I
G (exp(h(x)), f). Arthur montre qu’il existe un
réel k
G
M , nécessairement unique, de sorte que, pour tout f , l’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) + k
G
M l β (x)I
G (exp(h(x)), f)
ait une limite quand x tend vers 0. Il définit J
G
M (1, f) comme étant cette limite.
Pour des raisons de compatibilité à l’induction, il nous semble préférable de ne pas
privilégier la racine indivisible β mais de répartir plutôt le coefficient k
G
M sur les
deux racines β et 2β. Pour cela, considérons l’ensemble des éléments de Σ(T ) qui
se restreignent en un multiple entier de 2β. Ce sont ±α 1,2 , ±α 1,−2 et ±α 3 . C’est
le système de racines d’un sous-groupe G 2β = SO(4) × SO(3) de G qui contient
M . On a de même un nombre réel k
G 2β
M . Considérons l’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) +
(k
G
M − k
G 2β
M )l β (x) + k
G 2β
M l 2β (x)
I
G (exp(h(x)), f).
Elle a encore une limite quand x tend vers 0, qui est égale à la précédente, plus
k
G 2β
M log(|2| F )I
G (1, f). C’est cette limite que nous notons J
G
M (1, f).
On s’aperçoit que le procédé admet diverses variantes. Par exemple, fixons
un rationnel b > 0. On peut remplacer dans la formule ci-dessus l β (x) et l 2β (x)
par l β (bx) et l 2β (bx).
Il y a encore une limite, égale à la précédente plus k
G
M log(|b| F )I
G (1, f).
On la note J
G
M (1, B, f), B désignant la fonction constante sur Σ(T ) de valeur b.
Plus subtilement, considérons la fonction B sur Σ(T ) définie par B(±α i,j ) = 1,
B(±α i,−j ) = 1, B(±α i ) = 1/2. Cette fonction est proportionnelle au carré de la
longueur usuelle. Pour α ∈ Σ(T ),
α
B(α) est encore une forme linéaire sur t(F ). Les
restrictions de ces formes à a M (F ) sont encore 0, ±β, ±2β. Considérons l’ensemble
des α telles que la restriction de
α
B(α) soit un multiple entier de 2β. Il est formé
de ±α 1,2 , ±α 1,−2 , α 1 , α 2 , α 3 . C’est le système de racines d’un groupe G 2β,B =
SO(5) × SO(3). Ce n’est plus un sous-groupe de G, mais il contient encore M .