Introduction
183
L’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) +
(k
G
M − k
G 2β,B
M
)l β (x) + k
G 2β,B
M
l 2β (x)
I
G (exp(h(x)), f)
a encore une limite quand x tend vers 0. On la note J
G
M (1, B, f).
Ainsi, pour certaines fonctions B sur Σ(T ), on peut définir J
G
M (1, B, f), ainsi
que son avatar invariant I
G
M (1, B, f). La considération de ces diverses définitions
est utile pour notre propos. Expliquons pourquoi en revenant au cas général. Considérons une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a). Soient η un élément
semi-simple de ˜
G(F ), un élément semi-simple de ˜
G
(F ), supposons que ces deux
éléments se correspondent par la correspondance endoscopique usuelle. Fixons des
formes quasi-déployées G
∗
η et G
∗
de G η et G
et des paires de Borel définies sur F
dans ces deux groupes, dont on note les tores T η et T
. On note Σ(T η ) et Σ(T
) les
ensembles de racines de T η dans G
∗
η et de T
dans G
∗
. Il y a un isomorphisme naturel t η t
. Mais il n’identifie pas Σ(T
) à un sous-ensemble de Σ(T η ). Par contre,
il existe une fonction B
˜
G
: Σ(T
) → Q >0 telle que l’ensemble {
α
B
˜
G
(α)
; α ∈ Σ(T
)}
s’identifie à un sous-ensemble de Σ(T η ). Soient ˜
M et ˜
M
des espaces de Levi de
˜
G et ˜
G
qui se correspondent, supposons η ∈ ˜
M (F ) et ∈ ˜
M
(F ). Soit enfin
γ ∈ ˜
M (F ) de partie semi-simple η. «Stabiliser» la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
revient à établir une relation entre celle-ci et d’autres distributions vivant sur des
espaces endoscopiques. Parmi ces dernières, il y a en première approximation les
distributions f
→ I
˜
G
˜
M (δ, f
), où δ est un élément de ˜
M
(F ) de partie semi-simple
. Il s’avère qu’il est plus pertinent d’utiliser la distribution f
→ I
˜
G
˜
M (δ, B
˜
G
, f
).
Dans la suite de la première section, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. Le théorème 1.10,
qui ne concerne que le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure,
affirme que les avatars stables sont bel et bien stables. Le théorème 1.16 affirme
l’égalité des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes avec leurs avatars endoscopiques, c’est-à-dire une égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) avec des notations proches
de celles d’Arthur. Encore une fois, ces théorèmes ne sont ici qu’énoncés comme
des assertions à prouver.
Dans la deuxième section, on développe pour nos intégrales la théorie des
germes de Shalika. On pourrait espérer que ceux-ci permettent de ramener les
théorèmes 1.10 et 1.16 aux mêmes théorèmes restreints aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ) (c’est-à-dire de prouver que, si ces théorèmes
sont vérifiés pour de telles distributions, ils sont vrais pour toute distribution). Cet
espoir est vain, pour autant que nous le sachions, car on n’a pas assez de renseignements sur les germes. Ceux-ci permettent toutefois de prouver que les théorèmes,
restreints aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ), entraînent les
mêmes théorèmes pour les distributions à support seulement ˜
G-équisingulier.
Dans la troisième section, on étudie plus finement la définition des intégrales
orbitales pondérées ω-équivariante. Par définition, une intégrale I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est limite
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L’expression
J
G
M (exp(h(x)), f) +
(k
G
M − k
G 2β,B
M
)l β (x) + k
G 2β,B
M
l 2β (x)
I
G (exp(h(x)), f)
a encore une limite quand x tend vers 0. On la note J
G
M (1, B, f).
Ainsi, pour certaines fonctions B sur Σ(T ), on peut définir J
G
M (1, B, f), ainsi
que son avatar invariant I
G
M (1, B, f). La considération de ces diverses définitions
est utile pour notre propos. Expliquons pourquoi en revenant au cas général. Considérons une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a). Soient η un élément
semi-simple de ˜
G(F ), un élément semi-simple de ˜
G
(F ), supposons que ces deux
éléments se correspondent par la correspondance endoscopique usuelle. Fixons des
formes quasi-déployées G
∗
η et G
∗
de G η et G
et des paires de Borel définies sur F
dans ces deux groupes, dont on note les tores T η et T
. On note Σ(T η ) et Σ(T
) les
ensembles de racines de T η dans G
∗
η et de T
dans G
∗
. Il y a un isomorphisme naturel t η t
. Mais il n’identifie pas Σ(T
) à un sous-ensemble de Σ(T η ). Par contre,
il existe une fonction B
˜
G
: Σ(T
) → Q >0 telle que l’ensemble {
α
B
˜
G
(α)
; α ∈ Σ(T
)}
s’identifie à un sous-ensemble de Σ(T η ). Soient ˜
M et ˜
M
des espaces de Levi de
˜
G et ˜
G
qui se correspondent, supposons η ∈ ˜
M (F ) et ∈ ˜
M
(F ). Soit enfin
γ ∈ ˜
M (F ) de partie semi-simple η. «Stabiliser» la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
revient à établir une relation entre celle-ci et d’autres distributions vivant sur des
espaces endoscopiques. Parmi ces dernières, il y a en première approximation les
distributions f
→ I
˜
G
˜
M (δ, f
), où δ est un élément de ˜
M
(F ) de partie semi-simple
. Il s’avère qu’il est plus pertinent d’utiliser la distribution f
→ I
˜
G
˜
M (δ, B
˜
G
, f
).
Dans la suite de la première section, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. Le théorème 1.10,
qui ne concerne que le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure,
affirme que les avatars stables sont bel et bien stables. Le théorème 1.16 affirme
l’égalité des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes avec leurs avatars endoscopiques, c’est-à-dire une égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) avec des notations proches
de celles d’Arthur. Encore une fois, ces théorèmes ne sont ici qu’énoncés comme
des assertions à prouver.
Dans la deuxième section, on développe pour nos intégrales la théorie des
germes de Shalika. On pourrait espérer que ceux-ci permettent de ramener les
théorèmes 1.10 et 1.16 aux mêmes théorèmes restreints aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ) (c’est-à-dire de prouver que, si ces théorèmes
sont vérifiés pour de telles distributions, ils sont vrais pour toute distribution). Cet
espoir est vain, pour autant que nous le sachions, car on n’a pas assez de renseignements sur les germes. Ceux-ci permettent toutefois de prouver que les théorèmes,
restreints aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ), entraînent les
mêmes théorèmes pour les distributions à support seulement ˜
G-équisingulier.
Dans la troisième section, on étudie plus finement la définition des intégrales
orbitales pondérées ω-équivariante. Par définition, une intégrale I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est limite