184
Chapitre II. Enoncés des résultats
de combinaisons linéaires d’intégrales I
˜
G
˜
L
(aγ, f ), où a ∈ A ˜
M (F ) est en position
générale et tend vers 1 et ˜
L est un espace de Levi contenant ˜
M . On change
légèrement de point de vue et on étudie plutôt le germe en 1 de la fonction a →
I
˜
G
˜
M
(aγ, f ). On obtient un développement de cette fonction en termes de fonctions
assez élémentaires de a. C’est ce développement qui, dans le chapitre suivant, nous
permettra de ramener les théorèmes 1.10 et 1.16 aux mêmes théorèmes restreints
aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ).
Dans la dernière section, on traite le cas non ramifié, où on étudie seulement
les intégrales orbitales pondérées non ω-équivariantes de la fonction caractéristique d’un espace hyperspécial. Le principal résultat est que le lemme fondamental pondéré, qui est connu grâce à Ngo Bao Chau pour les distributions à support
fortement régulier dans ˜
G(F ), est vérifié pour toute distribution. Cela utilise les
résultats des sections 2 et 3.
Pour conclure cette introduction, il faut dire que ce chapitre doit tout aux
travaux antérieurs d’Arthur sur ce sujet et que, si on ne le cite pas à chaque ligne,
c’est seulement pour ne pas lasser le lecteur.
II.1 Intégrales orbitales pondérées
II.1.1 Les hypothèses
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local, de caractéristique nulle et nonarchimédien. On note p la caractéristique résiduelle de F . On considère des triplets
(G, ˜
G, a) comme dans [I]. Le terme G est un groupe réductif connexe défini sur F ,
˜
G est un espace tordu sur G, a est un élément de H
1 (W F , Z( ˆ
G)) qui détermine
un caractère ω de G(F ). On suppose
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini ;
• le caractère ω est unitaire.
On aura à prouver des assertions concernant un tel triplet. On raisonne par
récurrence sur l’entier dim(G SC ).
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé
et à torsion intérieure, on suppose connues toutes les assertions concernant des
triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) <
dim(G SC ).
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas
quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues toutes les assertions
concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que
dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ). On suppose connues toutes les assertions concernant des
triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ).
Chapitre II. Enoncés des résultats
de combinaisons linéaires d’intégrales I
˜
G
˜
L
(aγ, f ), où a ∈ A ˜
M (F ) est en position
générale et tend vers 1 et ˜
L est un espace de Levi contenant ˜
M . On change
légèrement de point de vue et on étudie plutôt le germe en 1 de la fonction a →
I
˜
G
˜
M
(aγ, f ). On obtient un développement de cette fonction en termes de fonctions
assez élémentaires de a. C’est ce développement qui, dans le chapitre suivant, nous
permettra de ramener les théorèmes 1.10 et 1.16 aux mêmes théorèmes restreints
aux distributions à support fortement régulier dans ˜
G(F ).
Dans la dernière section, on traite le cas non ramifié, où on étudie seulement
les intégrales orbitales pondérées non ω-équivariantes de la fonction caractéristique d’un espace hyperspécial. Le principal résultat est que le lemme fondamental pondéré, qui est connu grâce à Ngo Bao Chau pour les distributions à support
fortement régulier dans ˜
G(F ), est vérifié pour toute distribution. Cela utilise les
résultats des sections 2 et 3.
Pour conclure cette introduction, il faut dire que ce chapitre doit tout aux
travaux antérieurs d’Arthur sur ce sujet et que, si on ne le cite pas à chaque ligne,
c’est seulement pour ne pas lasser le lecteur.
II.1 Intégrales orbitales pondérées
II.1.1 Les hypothèses
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local, de caractéristique nulle et nonarchimédien. On note p la caractéristique résiduelle de F . On considère des triplets
(G, ˜
G, a) comme dans [I]. Le terme G est un groupe réductif connexe défini sur F ,
˜
G est un espace tordu sur G, a est un élément de H
1 (W F , Z( ˆ
G)) qui détermine
un caractère ω de G(F ). On suppose
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini ;
• le caractère ω est unitaire.
On aura à prouver des assertions concernant un tel triplet. On raisonne par
récurrence sur l’entier dim(G SC ).
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé
et à torsion intérieure, on suppose connues toutes les assertions concernant des
triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) <
dim(G SC ).
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas
quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues toutes les assertions
concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que
dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ). On suppose connues toutes les assertions concernant des
triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ).