II.1. Intégrales orbitales pondérées
185
Beaucoup d’assertions concernant un triplet (G, ˜
G, a) sont relatives à un
espace de Levi ˜
M de ˜
G. On supposera connues toutes les assertions concernant ce
même triplet (G, ˜
G, a), relatives à un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M .
II.1.2 Définition des intégrales pondérées d’après Arthur
Soit (G, ˜
G, a) un triplet comme en 1.1. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On doit
fixer une mesure sur A
˜
G
˜
M
. Pour ce faire, introduisons la paire de Borel épinglée
E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) de G, cf. [I] 1.2. Elle est munie d’une action σ → σ G ∗ du
groupe de Galois Γ F et d’un automorphisme θ
∗ . Le groupe de Weyl W agit sur
T
∗ . On fixe une forme quadratique définie positive sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R, invariante par
les actions de W et de Γ F et par θ
∗ . En fixant ˜
P ∈ P( ˜
M ) et en identifiant E
∗ à une
paire de Borel épinglée contenue dans ˜
P et dont le tore est contenu dans ˜
M , A
˜
G
˜
M
s’identifie à un sous-espace de X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Par restriction, on obtient une forme
quadratique définie positive sur A
˜
G
˜
M
. Elle ne dépend pas des choix. De cette forme
se déduit la mesure cherchée. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial K
de G(F ) en bonne position relativement à M . On fixe aussi une mesure de Haar
sur G(F ).
Introduisons la notion d’élément ˜
G-équisingulier de ˜
M . Soit γ ∈ ˜
M , notons
η sa partie semi-simple. On a
(1) les égalités M γ = G γ et M η = G η sont équivalentes.
Preuve. Ces égalités sont équivalentes aux inclusions G γ ⊂ M , resp. G η ⊂ M .
Ecrivons γ = uη, où u est un élément unipotent de M η . On a les égalités G γ =
(G η ) u et M γ = (M η ) u . Si G η ⊂ M , on a G γ ⊂ G η ⊂ M , donc G γ = M γ .
Inversement, supposons M γ = G γ . Posons H = G η et L = M η . Alors L est un
Levi de H et u est un élément unipotent de L tel que H u ⊂ L. On veut en déduire
que L = H. Mais soit Q ∈ P(L). Si L = H, le radical unipotent U Q est non trivial.
L’automorphisme ad u agit de façon unipotente sur ce radical, ce qui implique que
son ensemble de points fixes dans U Q est non trivial. Cet ensemble est inclus dans
H u , ce qui contredit l’inclusion H u ⊂ L.
On appelle élément ˜
G-équisingulier de ˜
M un élément γ vérifiant les égalités (1).
Soit γ ∈ ˜
M (F ). Fixons une mesure de Haar sur le groupe M γ (F ). Arthur
définit dans [9] une distribution f → J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F )). On va rappeler
sa définition. Nous la modifierons dans le paragraphe suivant, c’est pourquoi nous
affecterons des exposants Art à certains objets définis par Arthur.
Si ω n’est pas trivial sur M γ (F ), on pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour tout f . On
suppose désormais ω trivial sur M γ (F ).
Premier cas : on suppose que γ est ˜
G-équisingulier. Arthur définit pour tout
g ∈ G(F ) une ( ˜
G, ˜
M )-famille (v ˜
P (g; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) (λ est une variable dans iA
∗
˜
M
).
Comme de toute ( ˜
G, ˜
M )-famille, il s’en déduit une fonction v
˜
G
˜
M
(g; λ). On pose
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Beaucoup d’assertions concernant un triplet (G, ˜
G, a) sont relatives à un
espace de Levi ˜
M de ˜
G. On supposera connues toutes les assertions concernant ce
même triplet (G, ˜
G, a), relatives à un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M .
II.1.2 Définition des intégrales pondérées d’après Arthur
Soit (G, ˜
G, a) un triplet comme en 1.1. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On doit
fixer une mesure sur A
˜
G
˜
M
. Pour ce faire, introduisons la paire de Borel épinglée
E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) de G, cf. [I] 1.2. Elle est munie d’une action σ → σ G ∗ du
groupe de Galois Γ F et d’un automorphisme θ
∗ . Le groupe de Weyl W agit sur
T
∗ . On fixe une forme quadratique définie positive sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R, invariante par
les actions de W et de Γ F et par θ
∗ . En fixant ˜
P ∈ P( ˜
M ) et en identifiant E
∗ à une
paire de Borel épinglée contenue dans ˜
P et dont le tore est contenu dans ˜
M , A
˜
G
˜
M
s’identifie à un sous-espace de X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Par restriction, on obtient une forme
quadratique définie positive sur A
˜
G
˜
M
. Elle ne dépend pas des choix. De cette forme
se déduit la mesure cherchée. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial K
de G(F ) en bonne position relativement à M . On fixe aussi une mesure de Haar
sur G(F ).
Introduisons la notion d’élément ˜
G-équisingulier de ˜
M . Soit γ ∈ ˜
M , notons
η sa partie semi-simple. On a
(1) les égalités M γ = G γ et M η = G η sont équivalentes.
Preuve. Ces égalités sont équivalentes aux inclusions G γ ⊂ M , resp. G η ⊂ M .
Ecrivons γ = uη, où u est un élément unipotent de M η . On a les égalités G γ =
(G η ) u et M γ = (M η ) u . Si G η ⊂ M , on a G γ ⊂ G η ⊂ M , donc G γ = M γ .
Inversement, supposons M γ = G γ . Posons H = G η et L = M η . Alors L est un
Levi de H et u est un élément unipotent de L tel que H u ⊂ L. On veut en déduire
que L = H. Mais soit Q ∈ P(L). Si L = H, le radical unipotent U Q est non trivial.
L’automorphisme ad u agit de façon unipotente sur ce radical, ce qui implique que
son ensemble de points fixes dans U Q est non trivial. Cet ensemble est inclus dans
H u , ce qui contredit l’inclusion H u ⊂ L.
On appelle élément ˜
G-équisingulier de ˜
M un élément γ vérifiant les égalités (1).
Soit γ ∈ ˜
M (F ). Fixons une mesure de Haar sur le groupe M γ (F ). Arthur
définit dans [9] une distribution f → J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F )). On va rappeler
sa définition. Nous la modifierons dans le paragraphe suivant, c’est pourquoi nous
affecterons des exposants Art à certains objets définis par Arthur.
Si ω n’est pas trivial sur M γ (F ), on pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour tout f . On
suppose désormais ω trivial sur M γ (F ).
Premier cas : on suppose que γ est ˜
G-équisingulier. Arthur définit pour tout
g ∈ G(F ) une ( ˜
G, ˜
M )-famille (v ˜
P (g; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) (λ est une variable dans iA
∗
˜
M
).
Comme de toute ( ˜
G, ˜
M )-famille, il s’en déduit une fonction v
˜
G
˜
M
(g; λ). On pose