186
Chapitre II. Enoncés des résultats
v
˜
G
˜
M
(g) = v
˜
G
˜
M
(g; 0). La fonction g → v
˜
G
˜
M
(g) est la fonction «poids». Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F )), on pose
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Mγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 γg)v
˜
G
˜
M
(g) dg.
Cas général. On écrit γ = uη, où η est la partie semi-simple de γ et u est
un unipotent dans M η (F ). Notons Σ(A ˜
M ) l’ensemble des racines de A ˜
M dans G
(toutes les racines, pas seulement les indivisibles). Notons Σ ind (A Mη ) l’ensemble
des racines indivisibles de A Mη dans G η . La restriction définit une application
naturelle β → β ˜
M de Σ ind (A Mη ) dans Σ(A ˜
M ) ∪ {0}. Pour tout β ∈ Σ ind (A Mη ),
Arthur définit un réel ρ
Art (β, u) et une «coracine» ˇ
β ∈ A Mη . Pour α ∈ Σ(A ˜
M ),
pour a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour λ ∈ iA ˜
M,C , posons
r
Art
α (γ, a; λ) =
β∈Σ ind (AM η );β ˜
M =α
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ
Art (β,u) ˇ
β ˜
M
F
.
On définit ensuite une ( ˜
G, ˜
M )-famille (r
Art
˜
P
(γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r
Art
˜
P
(γ, a; λ) =
α>P 0
r
Art
α (γ, a; λ/2)
pour λ ∈ iA
∗
˜
M
, où α parcourt les éléments de Σ(A ˜
M ) qui sont «positifs» pour P .
On déduit de cette ( ˜
G, ˜
M )-famille une fonction r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a; λ) et on pose
r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a) = r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a; 0).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), considérons la fonction
(2)
a →
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Pour a en position générale, elle est bien définie : on a G aγ = M aγ = M γ et les
intégrales orbitales pondérées J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f) sont définies d’après le premier cas cidessus. Arthur montre que la fonction (2) a une limite quand a tend vers 1 (Arthur
traite le cas ω = 1 mais sa preuve s’étend sans changement au cas général). Notons
J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) la limite de la fonction (2). C’est l’intégrale orbitale pondérée telle
que définie par Arthur. Notons que, dans le cas où M γ = G γ , on retrouve celle
donnée plus haut.
Remarque. On vérifie que J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z M (γ; F )
tout entier.
Chapitre II. Enoncés des résultats
v
˜
G
˜
M
(g) = v
˜
G
˜
M
(g; 0). La fonction g → v
˜
G
˜
M
(g) est la fonction «poids». Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F )), on pose
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Mγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 γg)v
˜
G
˜
M
(g) dg.
Cas général. On écrit γ = uη, où η est la partie semi-simple de γ et u est
un unipotent dans M η (F ). Notons Σ(A ˜
M ) l’ensemble des racines de A ˜
M dans G
(toutes les racines, pas seulement les indivisibles). Notons Σ ind (A Mη ) l’ensemble
des racines indivisibles de A Mη dans G η . La restriction définit une application
naturelle β → β ˜
M de Σ ind (A Mη ) dans Σ(A ˜
M ) ∪ {0}. Pour tout β ∈ Σ ind (A Mη ),
Arthur définit un réel ρ
Art (β, u) et une «coracine» ˇ
β ∈ A Mη . Pour α ∈ Σ(A ˜
M ),
pour a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour λ ∈ iA ˜
M,C , posons
r
Art
α (γ, a; λ) =
β∈Σ ind (AM η );β ˜
M =α
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ
Art (β,u) ˇ
β ˜
M
F
.
On définit ensuite une ( ˜
G, ˜
M )-famille (r
Art
˜
P
(γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r
Art
˜
P
(γ, a; λ) =
α>P 0
r
Art
α (γ, a; λ/2)
pour λ ∈ iA
∗
˜
M
, où α parcourt les éléments de Σ(A ˜
M ) qui sont «positifs» pour P .
On déduit de cette ( ˜
G, ˜
M )-famille une fonction r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a; λ) et on pose
r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a) = r
˜
G,Art
˜
M
(γ, a; 0).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), considérons la fonction
(2)
a →
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Pour a en position générale, elle est bien définie : on a G aγ = M aγ = M γ et les
intégrales orbitales pondérées J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f) sont définies d’après le premier cas cidessus. Arthur montre que la fonction (2) a une limite quand a tend vers 1 (Arthur
traite le cas ω = 1 mais sa preuve s’étend sans changement au cas général). Notons
J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) la limite de la fonction (2). C’est l’intégrale orbitale pondérée telle
que définie par Arthur. Notons que, dans le cas où M γ = G γ , on retrouve celle
donnée plus haut.
Remarque. On vérifie que J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z M (γ; F )
tout entier.