II.1. Intégrales orbitales pondérées
187
On aura besoin d’un résultat un peu plus précis. On définit une distance d
au voisinage de 1 dans A ˜
M (F ) de la façon suivante. On fixe une norme |.| sur
l’algèbre de Lie a ˜
M (F ). On fixe des voisinages U de 1 dans A ˜
M (F ) et u de 0 dans
a ˜
M (F ) tels que l’exponentielle soit bijective de u dans U . Pour a ∈ U , on écrit
a = exp(H), avec H ∈ u, et on pose d(a) = |H|. On a alors
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Preuve. Un examen attentif de la preuve d’Arthur montre qu’il suffit d’améliorer son lemme 6.1 de [9]. Reprenons les notations de ce lemme dans la situation
simplifiée qui nous concerne : l’ensemble de places S est réduit à un élément, on
a F S = F et les v disparaissent. On considère une famille d’éléments de l’espace
P
+ (Ω) dépendant d’un paramètre a parcourant un voisinage de 1 dans A ˜
M (F ).
On note p[a] = ⊕ ω∈Ω p[a] ω l’élément de cette famille paramétré par a. Le terme
p[a] ω est un polynôme sur F
d à valeurs dans un espace V ω de dimension finie sur
F , muni d’une norme ||.||. On suppose que l’application (a, x) → p[a] ω (x) est la
restriction (au voisinage de a = 1) d’un polynôme défini sur A ˜
M (F ) × F
d . Pour
x ∈ F
d , on pose
λ p[a] (x) =
ω∈Ω
| log(||p[a] ω (x)||)|.
Arthur montre que, pour tout φ ∈ C
∞
c (F
d ), l’application
a → λ p[a] (φ) =
O
φ(x)λ p[a] (x) dx
est continue. Pour obtenir (3), on doit montrer qu’il existe r > 0 et C > 0 de sorte
que
|λ p[a] (φ) − λ p[1] (φ)| ≤ Cd(a)
r .
On veut de plus que r ne dépende pas de φ et, si on fixe un entier D et que l’on
impose que tous les p[a] ω sont de degré au plus D, que r ne dépende pas non plus
de la famille de polynômes. Il suffit pour cela de reprendre la fin de la preuve du
lemme 6.1. On pose p
0 = p[1]. En choisissant un paramètre auxiliaire , Arthur
montre que |λ p[a] (φ) − λ p 0 (φ)| est majoré par la somme de trois expressions (7.2),
(7.3) et (7.4). La relation (7.1) nous dit que le terme (7.3) est majoré par C 1
r1 ,
où C 1 et r 1 vérifient les conditions requises. Le terme (7.2) vérifie une majoration
analogue pourvu que l’on ait l’inclusion Γ(p
0 , ,) ⊂ Γ(p[a], 2). Rappelons que Ω
est un ensemble fini, que Γ est un sous-ensemble compact de F
d et que Γ(p[a], ,)
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On aura besoin d’un résultat un peu plus précis. On définit une distance d
au voisinage de 1 dans A ˜
M (F ) de la façon suivante. On fixe une norme |.| sur
l’algèbre de Lie a ˜
M (F ). On fixe des voisinages U de 1 dans A ˜
M (F ) et u de 0 dans
a ˜
M (F ) tels que l’exponentielle soit bijective de u dans U . Pour a ∈ U , on écrit
a = exp(H), avec H ∈ u, et on pose d(a) = |H|. On a alors
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|J
˜
G,Art
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Preuve. Un examen attentif de la preuve d’Arthur montre qu’il suffit d’améliorer son lemme 6.1 de [9]. Reprenons les notations de ce lemme dans la situation
simplifiée qui nous concerne : l’ensemble de places S est réduit à un élément, on
a F S = F et les v disparaissent. On considère une famille d’éléments de l’espace
P
+ (Ω) dépendant d’un paramètre a parcourant un voisinage de 1 dans A ˜
M (F ).
On note p[a] = ⊕ ω∈Ω p[a] ω l’élément de cette famille paramétré par a. Le terme
p[a] ω est un polynôme sur F
d à valeurs dans un espace V ω de dimension finie sur
F , muni d’une norme ||.||. On suppose que l’application (a, x) → p[a] ω (x) est la
restriction (au voisinage de a = 1) d’un polynôme défini sur A ˜
M (F ) × F
d . Pour
x ∈ F
d , on pose
λ p[a] (x) =
ω∈Ω
| log(||p[a] ω (x)||)|.
Arthur montre que, pour tout φ ∈ C
∞
c (F
d ), l’application
a → λ p[a] (φ) =
O
φ(x)λ p[a] (x) dx
est continue. Pour obtenir (3), on doit montrer qu’il existe r > 0 et C > 0 de sorte
que
|λ p[a] (φ) − λ p[1] (φ)| ≤ Cd(a)
r .
On veut de plus que r ne dépende pas de φ et, si on fixe un entier D et que l’on
impose que tous les p[a] ω sont de degré au plus D, que r ne dépende pas non plus
de la famille de polynômes. Il suffit pour cela de reprendre la fin de la preuve du
lemme 6.1. On pose p
0 = p[1]. En choisissant un paramètre auxiliaire , Arthur
montre que |λ p[a] (φ) − λ p 0 (φ)| est majoré par la somme de trois expressions (7.2),
(7.3) et (7.4). La relation (7.1) nous dit que le terme (7.3) est majoré par C 1
r1 ,
où C 1 et r 1 vérifient les conditions requises. Le terme (7.2) vérifie une majoration
analogue pourvu que l’on ait l’inclusion Γ(p
0 , ,) ⊂ Γ(p[a], 2). Rappelons que Ω
est un ensemble fini, que Γ est un sous-ensemble compact de F
d et que Γ(p[a], ,)