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Chapitre II. Enoncés des résultats
est la réunion sur les ω ∈ Ω des ensembles des x ∈ Γ tels que ||p[a] ω (x)|| < <.
Puisque les p[a] ω sont polynomiaux en a, il existe C 2 tel que
|||p[a] ω (x)|| − ||p
0
ω (x)||| < C 2 d(a)
pour tout a voisin de 1, tout x ∈ Γ et tout ω ∈ Ω. L’inclusion Γ(p
0 , ,) ⊂ Γ(p[a], 2)
est vérifiée pourvu que C 2 d(a) < <. Imposons plutôt 2C 2 d(a) < <. Le même calcul
montre que l’on a l’inclusion en sens inverse Γ(p[a], ,/2) ⊂ Γ(p
0 , ,). Le terme (7.4)
est de la forme
C 3
Γ−Γ(p 0 ,,)
|λ p[a] (x) − λ p 0 (x)| dx.
Sur le domaine d’intégration, on a ||p
0
ω (x)|| > > pour tout ω et, d’après l’inclusion
ci-dessus, on a aussi ||p[a] ω (x)|| > >/2. Ecrivons Ω = {ω 1 , . . . , ω }. On peut écrire
λ p[a] (x) − λ p 0 (x) =
k=1,...,,
i=1,...,k−1
| log(||p[a] ωi (x)||)|
(| log(||p[a] ωi (x)||)| − | log(||p[a] ωi (x)||)|)
j=k+1,...,,
| log(||p
0
ωi (x)||)|
.
On déduit des inégalités précédentes que |λ p[a] (x) − λ p 0 (x)| est essentiellement
borné par la somme sur les ω de
| log(/2)|
|Ω|−1
| log(||p[a] ω (x)||) − log(||p
0
ω (x)||)|.
Le dernier terme est égal à la valeur absolue de
log
||p[a] ω (x)||
||p 0
ω (x)||
.
On peut écrire p[a] ω (x) = p
0
ω (x) + q(a, x), où q(a, x) est un polynôme en a et x
qui est nul en a = 1. On a une majoration ||q(a, x)|| ≤ C 4 d(a) pour tout x ∈ Γ.
Puisque ||p
0
ω (x)|| > >, on obtient
||p[a] ω (x)||
||p 0
ω (x)||
− 1
≤ C 4 d(a)
−1 .
Renforçons la minoration imposée à en supposant d(a)
1/2
≤ (c’est plus fort
que 2C 2 d(a) < < pour a proche de 1). Alors
||p[a] ω (x)||
||p 0
ω (x)||
− 1
𚶀
≤ C 4 d(a)
1/2
d’où
log
||p[a] ω (x)||
||p 0
ω (x)||
≤ C 5 d(a)
1/2