II.1. Intégrales orbitales pondérées
189
pour une constante C 5 convenable. Alors le terme (7.4) est essentiellement majoré
par
C 3 C 5 |Ω|| log(/2)|
|Ω|−1 d(a)
1/2 .
On fixe maintenant = d(a)
1/2 . Le terme ci-dessus est majoré par
C 6 d(a)
r2
pour tout réel r 2 < 1/2 et pour une constante C 6 convenable. Les majorations des
termes (7.2) et (7.3) deviennent de la forme C 1 d(a)
r1/2 . En prenant pour r l’inf
de r 2 et r 1 /2, on a obtenu la majoration cherchée.
II.1.3 Propriétés des termes ρ
Art
(β, u) ˇ
β
On suppose dans ce paragraphe et le suivant qu’il n’y a pas de torsion, c’est-à-dire
˜
G = G. On considère un Levi M de G et un élément unipotent u ∈ M (F ). Comme
on l’a rappelé, Arthur définit pour toute racine β ∈ Σ ind (A M ) un réel ρ
Art (β, u) et
une coracine ˇ
β. Fixons une paire de Borel (B, T ) de G telle que M soit standard
pour cette paire. Fixons une extension finie F
de F telle que (B, T ) soit définie
sur F
et que G soit déployé sur F
. Plaçons-nous sur le corps de base F
. Le tore
Z(M )
0 est alors l’analogue de A M . Pour tout β
∈ Σ ind (Z(M )
0 ), on définit le réel
ρ
Art (β
, u) et une coracine ˇ
β
∈ X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R. De l’inclusion A M ⊂ Z(M )
0 se
déduisent des applications de restriction
Σ ind (Z(M )
0 ) → Σ(A M )
β
→
β
AM
,
X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R → A M
H
→ H AM
.
Remarquons qu’une racine indivisible de Z(M )
0 ne se restreint pas forcément en
une racine indivisible.
Pour β ∈ Σ ind (A M ), on a l’égalité
(1) ρ
Art (β, u) ˇ
β =
n≥1
β ;β
A M
=nβ ρ
Art (β
, u) ˇ
β
AM .
Preuve. Soit P ∈ P(M ) et soit ω un poids de A M qui est dominant pour P
(c’est la notation d’Arthur ; il ne s’agit pas de notre caractère ω que nous oublions
pour un temps). Notons U l’orbite géométrique de u dans M . Arthur définit une
fonction W ω (a, π) sur A M × UU P , à valeurs dans un espace de dimension finie sur
¯
F (cf. [9] 3.8 ; on considère ici le cas P = ¯
P 1 avec les notations de cette référence).
Le groupe M agit sur cet espace et la fonction est équivariante pour l’action de
M par conjugaison sur UU P et cette action sur l’espace d’arrivée. Arthur montre
que cette fonction est polynomiale et n’est pas identiquement nulle en a = 1 ([9]
corollaire 4.3). Elle est donc non nulle sur {1} × O, où O est un ouvert de Zariski
de UU P , qui est dense et invariant par conjugaison par M . En se plaçant sur F
,
on a de même une fonction W
ω (a
, π) sur Z(M )
0
× UU P , qui est polynomiale et
est non nulle sur {1} × O
, où O
est un ouvert de Zariski de UU P , qui est dense et
invariant par conjugaison par M . Sa restriction à A M × UU P vérifie donc la même
189
pour une constante C 5 convenable. Alors le terme (7.4) est essentiellement majoré
par
C 3 C 5 |Ω|| log(/2)|
|Ω|−1 d(a)
1/2 .
On fixe maintenant = d(a)
1/2 . Le terme ci-dessus est majoré par
C 6 d(a)
r2
pour tout réel r 2 < 1/2 et pour une constante C 6 convenable. Les majorations des
termes (7.2) et (7.3) deviennent de la forme C 1 d(a)
r1/2 . En prenant pour r l’inf
de r 2 et r 1 /2, on a obtenu la majoration cherchée.
II.1.3 Propriétés des termes ρ
Art
(β, u) ˇ
β
On suppose dans ce paragraphe et le suivant qu’il n’y a pas de torsion, c’est-à-dire
˜
G = G. On considère un Levi M de G et un élément unipotent u ∈ M (F ). Comme
on l’a rappelé, Arthur définit pour toute racine β ∈ Σ ind (A M ) un réel ρ
Art (β, u) et
une coracine ˇ
β. Fixons une paire de Borel (B, T ) de G telle que M soit standard
pour cette paire. Fixons une extension finie F
de F telle que (B, T ) soit définie
sur F
et que G soit déployé sur F
. Plaçons-nous sur le corps de base F
. Le tore
Z(M )
0 est alors l’analogue de A M . Pour tout β
∈ Σ ind (Z(M )
0 ), on définit le réel
ρ
Art (β
, u) et une coracine ˇ
β
∈ X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R. De l’inclusion A M ⊂ Z(M )
0 se
déduisent des applications de restriction
Σ ind (Z(M )
0 ) → Σ(A M )
β
→
β
AM
,
X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R → A M
H
→ H AM
.
Remarquons qu’une racine indivisible de Z(M )
0 ne se restreint pas forcément en
une racine indivisible.
Pour β ∈ Σ ind (A M ), on a l’égalité
(1) ρ
Art (β, u) ˇ
β =
n≥1
β ;β
A M
=nβ ρ
Art (β
, u) ˇ
β
AM .
Preuve. Soit P ∈ P(M ) et soit ω un poids de A M qui est dominant pour P
(c’est la notation d’Arthur ; il ne s’agit pas de notre caractère ω que nous oublions
pour un temps). Notons U l’orbite géométrique de u dans M . Arthur définit une
fonction W ω (a, π) sur A M × UU P , à valeurs dans un espace de dimension finie sur
¯
F (cf. [9] 3.8 ; on considère ici le cas P = ¯
P 1 avec les notations de cette référence).
Le groupe M agit sur cet espace et la fonction est équivariante pour l’action de
M par conjugaison sur UU P et cette action sur l’espace d’arrivée. Arthur montre
que cette fonction est polynomiale et n’est pas identiquement nulle en a = 1 ([9]
corollaire 4.3). Elle est donc non nulle sur {1} × O, où O est un ouvert de Zariski
de UU P , qui est dense et invariant par conjugaison par M . En se plaçant sur F
,
on a de même une fonction W
ω (a
, π) sur Z(M )
0
× UU P , qui est polynomiale et
est non nulle sur {1} × O
, où O
est un ouvert de Zariski de UU P , qui est dense et
invariant par conjugaison par M . Sa restriction à A M × UU P vérifie donc la même