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Chapitre II. Enoncés des résultats
propriété. Or il résulte de la définition (3.8) de [9] que, pour (a, π) ∈ A M × UU P ,
on a l’égalité
W ω (a, π) = W
ω (a, π)
Q(a)
Q (a)
,
où
Q(a) =
β∈Σ ind (AM ),β>P 0
(β(a) − β(a)
−1 )
ρ
Art (β,u)ω, ˇ
β ,
Q
(a) =
β ∈Σ ind (Z(M) 0 ),β >P 0
(β
(a) − β
(a)
−1 )
ρ
Art (β
,u)ω, ˇ
β
.
Les propriétés des deux fonctions W ω et W
ω entraînent que la fraction rationnelle
Q(a)
Q (a) n’a ni zéro, ni pôle en a = 1. Remarquons que l’on peut récrire
Q
(a) =
β∈Σ ind (AM ),β>P 0
n≥1
β ;β
A M
=nβ
(β
(a) − β
(a)
−1 )
ρ
Art (β
,u)ω, ˇ
β
.
Si β
AM = nβ, la fonction
β
(a) − β
(a)
−1
β(a) − β(a) −1
n’a ni zéro, ni pôle en a = 1. Posons
Q
(a) =
β∈Σ ind (AM ),β>P 0
(β(a) − β(a)
−1 )
ω,X(β) ,
où X(β) est le membre de droite de (1). Alors
Q
(a)
Q (a) n’a ni zéro, ni pôle en a = 1.
Donc
Q(a)
Q (a) a la même propriété. Cela équivaut à ρ
Art (β, u)
ω, ˇ
β
= ω, X(β)
pour tout β. Cela étant vrai pour tout poids dominant ω, cela entraîne l’égalité
(1) cherchée.
Soit L ∈ L(M ). On sait définir la classe de conjugaison (géométrique) induite
de M à L de la classe de conjugaison de u. Soit R = M U R ∈ P
L (M ). Alors
l’intersection de cette classe de conjugaison et de uU R est Zariski-dense dans cet
ensemble. Soit u
dans cette classe. On peut définir des termes ρ
Art (β
, u
) et
ˇ
β
∈ A L pour β
∈ Σ ind (A L ). On a des applications de restriction
Σ ind (A M ) → Σ(A L ) ∪ {0}
β
→
β L
,
A M → A L
H → H L
.
Remarquons que la restriction d’une racine indivisible de A M peut être nulle ou
divisible. Pour β
∈ Σ ind (A L ), on a l’égalité
(2) ρ
Art (β
, u
) ˇ
β
=
n≥1
β∈Σ ind (AM );βL=nβ ρ
Art (β, u) ˇ
β L .