II.1. Intégrales orbitales pondérées
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Preuve. On fixe un sous-groupe parabolique P
∈ P(L) et un poids ω de A L qui
est dominant pour P
. On fixe un sous-groupe parabolique P ∈ P(M ) contenu
dans P
. On définit comme ci-dessus des fonctions W ω sur A M × UU P et W
ω sur
A L × U
U P , où U
est l’orbite géométrique de u
. Comme plus haut, elles sont
polynomiales et non nulles sur {1} × O, respectivement sur {1} × O
, où O est un
ouvert de Zariski de UU P qui est dense et invariant par conjugaison par M et O
est un ouvert de Zariski de U
U P , qui est dense et invariant par conjugaison par
L. Il résulte de la définition de u
que O ∩ O
= ∅. Donc les deux fonctions sont
toutes deux non nulles sur {1} × (O ∩ O
). Pour a ∈ A M , définissons Q(a) comme
ci-dessus et, pour a
∈ A L , posons
Q
(a
) =
β ∈Σ ind (AL),β > P 0
(β
(a
) − β
(a
)
−1 )
ρ
Art (β
,u
)ω, ˇ
β
.
Le même argument que plus haut montre que la fraction rationnelle
Q(a
)
Q (a ) sur A L
n’a ni zéro, ni pôle en a
= 1. Remarquons que l’on peut supprimer de la définition
de Q les β dont la restriction à A L est nulle : pour ceux-là, on a
ω, ˇ
β
= 0. Comme
plus haut, si β se restreint en nβ
, la fonction
β(a
) − β(a
)
−1
β (a ) − β (a ) −1
n’a ni zéro, ni pôle en a
= 1. En notant Y (β
) la différence entre le membre de
gauche de (2) et celui de droite, on obtient alors que la fonction
Q(a
)
Q (a ) a la même
singularité en a = 1 que la fonction
β ∈Σ ind (AL),β >P 0
(β
(a
) − β
(a
)
−1 ) ω,Y (β
) .
Donc ce produit n’a lui-même ni zéro, ni pôle en a
= 1. Cela entraîne Y (β
) = 0
pour tout β
.
II.1.4 Définition d’un nouveau terme ρ(β, u)
On conserve la situation du début du paragraphe précédent et on fixe une paire de
Borel (B, T ) et une extension F
comme alors. On va définir un élément ρ(β, u) ∈
X ∗ (Z(M )
0 )⊗ Z R, ou plus précisément ρ
G (β, u), pour toute racine β ∈ Σ(Z(M )
0 ) et
non plus seulement pour les racines indivisibles. La définition se fait par récurrence
sur la dimension de G SC . Soit β ∈ Σ(Z(M )
0 ). On introduit le sous-groupe G β de
G engendré par M et les sous-groupes radiciels associés aux racines nβ pour n ∈ Z.
Si dim(G β,SC ) < dim(G SC ), le terme ρ
G β (β, u) relatif à G β est déjà défini et on
pose ρ
G (β, u) = ρ
G β (β, u). Supposons dim(G β,SC ) = dim(G SC ). Dans ce cas, M
est un Levi maximal de G et β est une racine indivisible (une telle racine est
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Preuve. On fixe un sous-groupe parabolique P
∈ P(L) et un poids ω de A L qui
est dominant pour P
. On fixe un sous-groupe parabolique P ∈ P(M ) contenu
dans P
. On définit comme ci-dessus des fonctions W ω sur A M × UU P et W
ω sur
A L × U
U P , où U
est l’orbite géométrique de u
. Comme plus haut, elles sont
polynomiales et non nulles sur {1} × O, respectivement sur {1} × O
, où O est un
ouvert de Zariski de UU P qui est dense et invariant par conjugaison par M et O
est un ouvert de Zariski de U
U P , qui est dense et invariant par conjugaison par
L. Il résulte de la définition de u
que O ∩ O
= ∅. Donc les deux fonctions sont
toutes deux non nulles sur {1} × (O ∩ O
). Pour a ∈ A M , définissons Q(a) comme
ci-dessus et, pour a
∈ A L , posons
Q
(a
) =
β ∈Σ ind (AL),β > P 0
(β
(a
) − β
(a
)
−1 )
ρ
Art (β
,u
)ω, ˇ
β
.
Le même argument que plus haut montre que la fraction rationnelle
Q(a
)
Q (a ) sur A L
n’a ni zéro, ni pôle en a
= 1. Remarquons que l’on peut supprimer de la définition
de Q les β dont la restriction à A L est nulle : pour ceux-là, on a
ω, ˇ
β
= 0. Comme
plus haut, si β se restreint en nβ
, la fonction
β(a
) − β(a
)
−1
β (a ) − β (a ) −1
n’a ni zéro, ni pôle en a
= 1. En notant Y (β
) la différence entre le membre de
gauche de (2) et celui de droite, on obtient alors que la fonction
Q(a
)
Q (a ) a la même
singularité en a = 1 que la fonction
β ∈Σ ind (AL),β >P 0
(β
(a
) − β
(a
)
−1 ) ω,Y (β
) .
Donc ce produit n’a lui-même ni zéro, ni pôle en a
= 1. Cela entraîne Y (β
) = 0
pour tout β
.
II.1.4 Définition d’un nouveau terme ρ(β, u)
On conserve la situation du début du paragraphe précédent et on fixe une paire de
Borel (B, T ) et une extension F
comme alors. On va définir un élément ρ(β, u) ∈
X ∗ (Z(M )
0 )⊗ Z R, ou plus précisément ρ
G (β, u), pour toute racine β ∈ Σ(Z(M )
0 ) et
non plus seulement pour les racines indivisibles. La définition se fait par récurrence
sur la dimension de G SC . Soit β ∈ Σ(Z(M )
0 ). On introduit le sous-groupe G β de
G engendré par M et les sous-groupes radiciels associés aux racines nβ pour n ∈ Z.
Si dim(G β,SC ) < dim(G SC ), le terme ρ
G β (β, u) relatif à G β est déjà défini et on
pose ρ
G (β, u) = ρ
G β (β, u). Supposons dim(G β,SC ) = dim(G SC ). Dans ce cas, M
est un Levi maximal de G et β est une racine indivisible (une telle racine est