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Chapitre II. Enoncés des résultats
unique au signe près). On pose
ρ
G (β, u) = ρ
Art (β, u) ˇ
β −
n>1
ρ
G (nβ, u),
avec la convention ρ
G (nβ, u) = 0 si nβ n’est pas une racine.
On redescend à la situation définie sur F de la façon suivante. On a encore
des applications de restriction
Σ(Z(M )
0 ) → Σ(A M )
β
→
β
AM
,
X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ Z R → A M
H
→ H AM
.
Pour β ∈ Σ(A M ), on pose
(1)
ρ
G (β, u) =
β ;β
A M
=β
ρ
G (β
, u) AM .
On a, avec la même convention que ci-dessus,
(2) pour tout β ∈ Σ ind (A M ),
ρ
Art (β, u) ˇ
β =
n≥1
ρ
G (nβ, u).
Preuve. D’après 1.3(1), le membre de gauche est
n≥1
β ∈Σ ind (Z(M) 0 ),β
A M
=nβ
ρ
Art (β
, u) ˇ
β
AM .
D’après (1) ci-dessus, le membre de droite est
n≥1
β ∈Σ(Z(M) 0 ),β
A M
=nβ
ρ
G (β
, u) AM .
Les racines β
qui interviennent dans la deuxième expression sont exactement les
multiples positifs de racines indivisibles intervenant dans la première. Cela nous
ramène à prouver l’analogue suivant de l’assertion (2) : pour β
∈ Σ ind (Z(M )
0 ),
on a l’égalité
ρ
Art (β
, u) ˇ
β
=
n≥1
ρ
G (nβ
, u).
Introduisons le groupe G β comme plus haut. D’après les définitions, le membre de
droite est l’analogue de ρ
Art (β
, u) ˇ
β
quand on remplace le groupe ambiant G par
G β . Mais, β
étant indivisible, le groupe G β est un Levi (c’est un Levi minimal
parmi ceux qui contiennent M ). Il résulte de la définition d’Arthur ([9] paragraphe
3) que le terme ρ
Art (β
, u) ˇ
β
est le même, que le groupe ambiant soit G ou G β .
Cela prouve (2).