II.1. Intégrales orbitales pondérées
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Pour β ∈ Σ(A M ), notons G β le sous-groupe de G engendré par M et les
sous-groupes radiciels associés aux racines nβ pour n ∈ Z. On a
(3) ρ
G (β, u) = ρ
G β (β, u).
Cela résulte comme (2) d’un dévissage facile.
Soit L ∈ L(M ). Comme en 1.3(2), soit u
un élément de l’orbite induite de
M à L par l’orbite de u. Pour tout β
∈ Σ(A L ), on a l’égalité
(4)
ρ
G (β
, u
) =
β∈Σ(AM ),βL=β
ρ
G (β, u) L .
Preuve. On note G β le sous-groupe de G engendré par L et les sous-groupes
radiciels associés aux racines nβ
pour n ∈ Z. Pour β ∈ Σ(A M ), on définit G β
comme ci-dessus. Les racines β ∈ Σ(A M ) qui se restreignent en β
sont exactement
les racines β ∈ Σ
G β (A M ) qui se restreignent en β
. Pour celles-ci, le groupe G β
est contenu dans G β . La relation (3) appliquée pour G et pour G β entraîne que
ρ
G (β, u) = ρ
G β (β, u). Il en résulte que le membre de droite de (4) ne change pas
quand on remplace le groupe ambiant G par G β . D’après (3), il en est de même
du membre de gauche. Si dim(G β ,SC ) < dim(G SC ), on conclut en raisonnant par
récurrence sur cette dimension. Reste le cas où G β = G. Alors L est un Levi
propre maximal et β
est une racine indivisible. Dans ce cas, on a d’après (2)
(5)
ρ
G (β
, u
) = ρ
Art (β
, u
) ˇ
β
−
n≥2
ρ
G (nβ
, u
).
On applique 1.3(2) :
ρ
Art (β
, u
) ˇ
β
=
m≥1
β∈Σ ind (AM ),βL=mβ
ρ
Art (β, u) ˇ
β L .
En utilisant (2), c’est aussi
m≥1
β∈Σ ind (AM ),βL=mβ
k≥1
ρ
G (kβ, u) L .
La triple somme se simplifie : les racines kβ intervenant ici sont exactement les
éléments de Σ(A M ) qui se restreignent en un multiple positif de β
. On obtient
n≥1
β∈Σ(AM ),βL=nβ
ρ
G (β, u) L .
Pour n ≥ 2, on applique la relation (4) déjà démontrée pour nβ
. La somme
ci-dessus devient ⎛
⎝
β∈Σ(AM ),βL=β
ρ
G (β, u) L
⎞
⎠ +
n≥2
ρ
G (nβ
, u).
En glissant cette expression de ρ
Art (β
, u
) ˇ
β
dans l’expression (5), on obtient (4).