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Chapitre II. Enoncés des résultats
II.1.5 Modification de la définition des intégrales orbitales pondérées
On revient à la situation générale de 1.2 dont on reprend les notations. Si ω n’est
pas trivial sur M γ (F ), on pose encore J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour tout f .
On suppose maintenant que ω est trivial sur M γ (F ). On ne change rien dans
le cas où γ est ˜
G-équisingulier. Dans le cas général, on définit pour tout α ∈ Σ(A ˜
M )
un élément ρ(α, γ) ∈ A ˜
M , ou plus précisément ρ
˜
G (α, γ), par la formule
ρ
˜
G (α, γ) =
β∈Σ(AM η ),β ˜
M =α
ρ
Gη (β, u) ˜
M .
Pour α ∈ Σ(A ˜
M ), pour a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour λ ∈ iA ˜
M,C ,
posons
r α (γ, a; λ) = |α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ(α,γ)
F
.
On définit ensuite une ( ˜
G, ˜
M )-famille (r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r ˜
P (γ, a; λ) =
α>P 0
r α (γ, a; λ/2)
pour λ ∈ iA
∗
˜
M
. Comme précédemment, on déduit de cette ( ˜
G, ˜
M )-famille une
fonction r
˜
G
˜
M
(γ, a; λ) et on pose r
˜
G
˜
M
(γ, a) = r
˜
G
˜
M
(γ, a; 0).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), considérons la fonction
(1)
a →
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Lemme. La fonction (1) a une limite quand a tend vers 1 parmi les éléments en
position générale de A ˜
M (F ).
Preuve. Notons ϕ
Art (a, f ) et ϕ(a, f ) les fonctions définies par les formules (2) du
paragraphe 1.2 et (1) ci-dessus. On peut récrire
ϕ
Art (a, f ) = D
˜
G (aγ)
1/2
Mγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 aγg)(r
Art v) ˜
M (γ, a, g) dg,
où
(r
Art v) ˜
M (γ, a, g) =
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)v ˜
L (g).
On reconnaît cette expression : c’est la fonction associée comme toujours à la
( ˜
G, ˜
M )-famille produit (r
Art
˜
P
(γ, a; λ)v ˜
P (g; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) ([2] corollaire 6.5). On a une
expression analogue pour la fonction ϕ(a, f ) : il suffit de supprimer les exposants
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.1.5 Modification de la définition des intégrales orbitales pondérées
On revient à la situation générale de 1.2 dont on reprend les notations. Si ω n’est
pas trivial sur M γ (F ), on pose encore J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = 0 pour tout f .
On suppose maintenant que ω est trivial sur M γ (F ). On ne change rien dans
le cas où γ est ˜
G-équisingulier. Dans le cas général, on définit pour tout α ∈ Σ(A ˜
M )
un élément ρ(α, γ) ∈ A ˜
M , ou plus précisément ρ
˜
G (α, γ), par la formule
ρ
˜
G (α, γ) =
β∈Σ(AM η ),β ˜
M =α
ρ
Gη (β, u) ˜
M .
Pour α ∈ Σ(A ˜
M ), pour a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour λ ∈ iA ˜
M,C ,
posons
r α (γ, a; λ) = |α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ(α,γ)
F
.
On définit ensuite une ( ˜
G, ˜
M )-famille (r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r ˜
P (γ, a; λ) =
α>P 0
r α (γ, a; λ/2)
pour λ ∈ iA
∗
˜
M
. Comme précédemment, on déduit de cette ( ˜
G, ˜
M )-famille une
fonction r
˜
G
˜
M
(γ, a; λ) et on pose r
˜
G
˜
M
(γ, a) = r
˜
G
˜
M
(γ, a; 0).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), considérons la fonction
(1)
a →
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f).
Lemme. La fonction (1) a une limite quand a tend vers 1 parmi les éléments en
position générale de A ˜
M (F ).
Preuve. Notons ϕ
Art (a, f ) et ϕ(a, f ) les fonctions définies par les formules (2) du
paragraphe 1.2 et (1) ci-dessus. On peut récrire
ϕ
Art (a, f ) = D
˜
G (aγ)
1/2
Mγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 aγg)(r
Art v) ˜
M (γ, a, g) dg,
où
(r
Art v) ˜
M (γ, a, g) =
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L,Art
˜
M
(γ, a)v ˜
L (g).
On reconnaît cette expression : c’est la fonction associée comme toujours à la
( ˜
G, ˜
M )-famille produit (r
Art
˜
P
(γ, a; λ)v ˜
P (g; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) ([2] corollaire 6.5). On a une
expression analogue pour la fonction ϕ(a, f ) : il suffit de supprimer les exposants