II.1. Intégrales orbitales pondérées
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Art. Soit (c ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) la ( ˜
G, ˜
M )-famille telle que
r ˜
P (γ, a; λ) = c ˜
P (γ, a; λ)r
Art
˜
P
(γ, a; λ).
D’après [2] lemme 6.3, on a une égalité
(rv) ˜
M (γ, a, g) =
˜
Q∈F ( ˜
M)
c
˜
Q
(γ, a)(r
Art v)
˜
Q
˜
M
(γ, a, g),
où c
˜
Q
(γ, a) est définie par [2] 6.3. Un calcul habituel de descente des intégrales
orbitales pondérées conduit alors à l’expression
ϕ(a, f ) =
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
c
˜
Q
(γ, a)D
˜
L (aγ)
1/2
×
Mγ (F )\L(F )
ω(g)f ˜
Q,ω (l
−1 aγl)(r
Art v)
˜
L
˜
M
(γ, a, l) dl.
Ou encore
(2)
ϕ(a, f ) =
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
c
˜
Q
(γ, a)ϕ
˜
L,Art (a, f ˜
Q,ω ).
Il suffit de voir que toutes les fonctions apparaissant ont une limite quand a tend
vers 1. C’est le résultat d’Arthur pour les fonctions ϕ
˜
L,Art (a, f ˜
Q,ω ). Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ).
Notons Σ ind (A ˜
M ) l’ensemble des racines indivisibles de A ˜
M dans G. Le terme
r ˜
P (γ, a; λ) est produit sur les racines α ∈ Σ ind (A ˜
M ) qui sont positives pour P des
expressions
n≥1
|α(a)
n
− α(a)
−n
|
λ,ρ(nα,γ)
F
.
La singularité en a de cette expression est la même que celle de
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,
n≥1 ρ(nα,γ)
F
.
Un calcul analogue vaut pour r
Art
˜
P
(γ, a; λ). La somme
n≥1 ρ(nα, γ) y est remplacée par
n≥1
β∈Σ ind (AM η );β ˜
M =nα
ρ
Art (β, u) ˇ
β ˜
M .
Il résulte de 1.4(2) que cette expression est égale à
n≥1
β∈Σ ind (AM η );β ˜
M =nα
k≥1
ρ
Gη (kβ, u) ˜
M .