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Chapitre II. Enoncés des résultats
Cette expression se simplifie : les racines kβ y intervenant décrivent tous les éléments de Σ(A Mη ) dont la restriction est un multiple positif de α. Elle est donc
égale à
n≥1
β∈Σ(AM η );β ˜
M =nα
ρ
Gη (β, u) ˜
M .
D’après nos définitions, cela est égal à
n≥1 ρ(nα, γ). Cela montre que les fonctions r ˜
P (γ, a; λ) et r
Art
˜
P
(γ, a; λ) ont même singularité en a = 1, donc que le rapport
c ˜
P (γ, a; λ) est régulier en ce point. Le terme c
˜
Q
(γ, 1) est donc défini et il est facile
de montrer que c
˜
Q
(γ, a) tend vers c
˜
Q
(γ, 1) quand a tend vers 1.
On définit J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) comme la limite de la fonction (1) quand a tend vers
1. De nouveau, si γ est ˜
G-équisingulier, on retrouve la définition simple donnée
plus haut.
La preuve ci-dessus, plus précisément l’égalité (2), montre que la précision
(3) du paragraphe 1.2 vaut aussi pour nos intégrales orbitales pondérées. A savoir
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Rappelons que les données de γ et d’une mesure de Haar sur M γ (F ) définissent un élément γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ : pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )) et
pour une mesure de Haar dm sur M (F ), on a I
˜
M (γ, ϕ ⊗ dm) = I
˜
M (γ, ω, ϕ), où le
membre de droite est calculé à l’aide de la mesure dm et de celle fixée sur M γ (F ).
L’application qui, à γ et à une mesure de Haar sur M γ (F ), associe la forme linéaire
f → J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) vérifie les propriétés requises pour se factoriser puis s’étendre par
linéarité en une application définie sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’està-dire que l’on peut définir une application linéaire qui, à γ ∈ D g´ eom ( ˜
M , ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , associe une forme linéaire f → J
˜
G
˜
M
(γ, f), de sorte que si γ provient comme ci-dessus d’un élément γ et d’une mesure de Haar sur M γ (F ), on ait
l’égalité J
˜
G
˜
M
(γ, f) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
On aura besoin plus tard de la propriété suivante. Soit α ∈ Σ(A ˜
M ). Introduisons le sous-groupe G α de G engendré par M et les sous-espaces radiciels associés
aux racines de la forme kα pour k ∈ Z. Il est normalisé par ˜
M , c’est-à-dire que
l’on a l’égalité G α ˜
M = ˜
M G α . On note ˜
G α cet espace tordu. Alors
(4) on a l’égalité ρ
˜
G (α, γ) = ρ
˜
Gα (α, γ).
Cela résulte de 1.4(3) et d’un dévissage des définitions.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Cette expression se simplifie : les racines kβ y intervenant décrivent tous les éléments de Σ(A Mη ) dont la restriction est un multiple positif de α. Elle est donc
égale à
n≥1
β∈Σ(AM η );β ˜
M =nα
ρ
Gη (β, u) ˜
M .
D’après nos définitions, cela est égal à
n≥1 ρ(nα, γ). Cela montre que les fonctions r ˜
P (γ, a; λ) et r
Art
˜
P
(γ, a; λ) ont même singularité en a = 1, donc que le rapport
c ˜
P (γ, a; λ) est régulier en ce point. Le terme c
˜
Q
(γ, 1) est donc défini et il est facile
de montrer que c
˜
Q
(γ, a) tend vers c
˜
Q
(γ, 1) quand a tend vers 1.
On définit J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) comme la limite de la fonction (1) quand a tend vers
1. De nouveau, si γ est ˜
G-équisingulier, on retrouve la définition simple donnée
plus haut.
La preuve ci-dessus, plus précisément l’égalité (2), montre que la précision
(3) du paragraphe 1.2 vaut aussi pour nos intégrales orbitales pondérées. A savoir
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)J
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Rappelons que les données de γ et d’une mesure de Haar sur M γ (F ) définissent un élément γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ : pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )) et
pour une mesure de Haar dm sur M (F ), on a I
˜
M (γ, ϕ ⊗ dm) = I
˜
M (γ, ω, ϕ), où le
membre de droite est calculé à l’aide de la mesure dm et de celle fixée sur M γ (F ).
L’application qui, à γ et à une mesure de Haar sur M γ (F ), associe la forme linéaire
f → J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) vérifie les propriétés requises pour se factoriser puis s’étendre par
linéarité en une application définie sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’està-dire que l’on peut définir une application linéaire qui, à γ ∈ D g´ eom ( ˜
M , ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , associe une forme linéaire f → J
˜
G
˜
M
(γ, f), de sorte que si γ provient comme ci-dessus d’un élément γ et d’une mesure de Haar sur M γ (F ), on ait
l’égalité J
˜
G
˜
M
(γ, f) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
On aura besoin plus tard de la propriété suivante. Soit α ∈ Σ(A ˜
M ). Introduisons le sous-groupe G α de G engendré par M et les sous-espaces radiciels associés
aux racines de la forme kα pour k ∈ Z. Il est normalisé par ˜
M , c’est-à-dire que
l’on a l’égalité G α ˜
M = ˜
M G α . On note ˜
G α cet espace tordu. Alors
(4) on a l’égalité ρ
˜
G (α, γ) = ρ
˜
Gα (α, γ).
Cela résulte de 1.4(3) et d’un dévissage des définitions.