II.1. Intégrales orbitales pondérées
197
II.1.6 Définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
On fixe toujours ˜
M , la mesure sur A ˜
M et le sous-groupe compact K. Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur G(F ) et M (F ). On définit comme d’habitude
des homomorphismes
H G : G(F ) → A G et H ˜
G : G(F ) → A ˜
G
par
exp(x
∗ , H G (g)) = |x
∗ (g)| F , resp. exp(x
∗ , H ˜
G (g)) = |x
∗ (g)| F
pour tout x
∗
∈ X
∗ (G)
ΓF , resp. x
∗
∈ X
∗ (G)
ΓF ,θ . Le terme H ˜
G (g) n’est autre que
la projection naturelle de H G (g) sur A ˜
G . Notons A ˜
G,F l’image de l’application
H ˜
G . C’est un réseau de l’espace A ˜
G . Notons G(F )
1 le noyau de H ˜
G et posons
˜
A ˜
G,F = G(F )
1
\ ˜
G(F ).
C’est un espace principal homogène sous A ˜
G,F . On note
˜
H ˜
G : ˜
G(F ) → ˜
A ˜
G,F
l’application naturelle. Introduisons l’espace C
∞
ac ( ˜
G(F )) formé des fonctions f sur
˜
G(F ) telles que :
(i) il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G(F ) tel que f soit biinvariante
par K
;
(ii) pour tout élément ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) (c’est-à-dire que ϕ est une fonction sur
˜
A ˜
G,F à support fini), le produit f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G ) appartient à C
∞
c ( ˜
G(F )).
Les définitions des intégrales orbitales ou des intégrales orbitales pondérées
se généralisent aux éléments de C
∞
ac ( ˜
G(F )). En effet, soient γ ∈ ˜
M (F ) et f ∈
C
∞
ac ( ˜
G(F )). La projection dans ˜
A ˜
G,F de la classe de conjugaison de γ est réduite à
un point. Choisissons ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) valant 1 en ce point. On pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G )). Cela ne dépend pas du choix de ϕ. On note I ac ( ˜
G(F ), ω) le
quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F )) par le sous-espace des éléments f tels que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0
pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ).
A l’aide des caractères pondérés, Arthur définit une application linéaire
φ ˜
M : C
∞
c ( ˜
G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω).
(Arthur traite le cas où ω = 1, le cas général est similaire, cf. [81] 6.4.) Pour
γ ∈ ˜
M (F ), pour une mesure fixée sur M γ (F ) et pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )).
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II.1.6 Définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
On fixe toujours ˜
M , la mesure sur A ˜
M et le sous-groupe compact K. Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur G(F ) et M (F ). On définit comme d’habitude
des homomorphismes
H G : G(F ) → A G et H ˜
G : G(F ) → A ˜
G
par
exp(x
∗ , H G (g)) = |x
∗ (g)| F , resp. exp(x
∗ , H ˜
G (g)) = |x
∗ (g)| F
pour tout x
∗
∈ X
∗ (G)
ΓF , resp. x
∗
∈ X
∗ (G)
ΓF ,θ . Le terme H ˜
G (g) n’est autre que
la projection naturelle de H G (g) sur A ˜
G . Notons A ˜
G,F l’image de l’application
H ˜
G . C’est un réseau de l’espace A ˜
G . Notons G(F )
1 le noyau de H ˜
G et posons
˜
A ˜
G,F = G(F )
1
\ ˜
G(F ).
C’est un espace principal homogène sous A ˜
G,F . On note
˜
H ˜
G : ˜
G(F ) → ˜
A ˜
G,F
l’application naturelle. Introduisons l’espace C
∞
ac ( ˜
G(F )) formé des fonctions f sur
˜
G(F ) telles que :
(i) il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G(F ) tel que f soit biinvariante
par K
;
(ii) pour tout élément ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) (c’est-à-dire que ϕ est une fonction sur
˜
A ˜
G,F à support fini), le produit f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G ) appartient à C
∞
c ( ˜
G(F )).
Les définitions des intégrales orbitales ou des intégrales orbitales pondérées
se généralisent aux éléments de C
∞
ac ( ˜
G(F )). En effet, soient γ ∈ ˜
M (F ) et f ∈
C
∞
ac ( ˜
G(F )). La projection dans ˜
A ˜
G,F de la classe de conjugaison de γ est réduite à
un point. Choisissons ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) valant 1 en ce point. On pose J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) =
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G )). Cela ne dépend pas du choix de ϕ. On note I ac ( ˜
G(F ), ω) le
quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F )) par le sous-espace des éléments f tels que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0
pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ).
A l’aide des caractères pondérés, Arthur définit une application linéaire
φ ˜
M : C
∞
c ( ˜
G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω).
(Arthur traite le cas où ω = 1, le cas général est similaire, cf. [81] 6.4.) Pour
γ ∈ ˜
M (F ), pour une mesure fixée sur M γ (F ) et pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, φ ˜
L (f )).