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Chapitre II. Enoncés des résultats
Quand ω = 1, Arthur montre que cette distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est invariante
par conjugaison. Le cas général est similaire : la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
est ω-équivariante, c’est-à-dire qu’elle se factorise en une application définie sur
I( ˜
G(F ), ω). Remarquons que l’on a besoin de connaître cette propriété par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens. Plus exactement, on a besoin
de savoir par récurrence que cette distribution s’étend en une application linéaire
définie sur C
∞
ac ( ˜
G(F )) et que celle-ci se factorise en une application linéaire définie
sur I ac ( ˜
G(F ), ω). Cela résulte des propriétés de l’application φ ˜
M . Par ailleurs, Arthur montre que la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) est indépendante du sous-groupe
K choisi, lequel peut donc disparaître des données.
Attention : cette distribution n’est pas, en général, supportée par la classe de
conjugaison de γ. Elle n’appartient même pas à D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Encore une fois, on se débarrasse des mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈
D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), ou f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )).
II.1.7 Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soit toujours ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Pour énoncer les quatre premières propriétés, il est plus commode de fixer des mesures de Haar sur M (F ) et G(F ), ainsi
que sur les groupes M γ (F ) qui apparaissent.
Soient γ ∈ ˜
M (F ) et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ), on a l’égalité
(1) I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G )) = ϕ ◦ ˜
H ˜
G (γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
A fortiori, la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) est supportée par l’ensemble des
γ
∈ ˜
G(F ) tels que ˜
H ˜
G (γ
) = ˜
H ˜
G (γ).
On a aussi l’égalité
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = lim
a→1
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f),
la limite étant prise au même sens qu’en 1.2. Plus précisément
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Supposons que γ est ˜
G-équisingulier. Alors
Chapitre II. Enoncés des résultats
Quand ω = 1, Arthur montre que cette distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est invariante
par conjugaison. Le cas général est similaire : la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
est ω-équivariante, c’est-à-dire qu’elle se factorise en une application définie sur
I( ˜
G(F ), ω). Remarquons que l’on a besoin de connaître cette propriété par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens. Plus exactement, on a besoin
de savoir par récurrence que cette distribution s’étend en une application linéaire
définie sur C
∞
ac ( ˜
G(F )) et que celle-ci se factorise en une application linéaire définie
sur I ac ( ˜
G(F ), ω). Cela résulte des propriétés de l’application φ ˜
M . Par ailleurs, Arthur montre que la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) est indépendante du sous-groupe
K choisi, lequel peut donc disparaître des données.
Attention : cette distribution n’est pas, en général, supportée par la classe de
conjugaison de γ. Elle n’appartient même pas à D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Encore une fois, on se débarrasse des mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈
D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), ou f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )).
II.1.7 Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soit toujours ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Pour énoncer les quatre premières propriétés, il est plus commode de fixer des mesures de Haar sur M (F ) et G(F ), ainsi
que sur les groupes M γ (F ) qui apparaissent.
Soient γ ∈ ˜
M (F ) et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ), on a l’égalité
(1) I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f (ϕ ◦ ˜
H ˜
G )) = ϕ ◦ ˜
H ˜
G (γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
A fortiori, la distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) est supportée par l’ensemble des
γ
∈ ˜
G(F ) tels que ˜
H ˜
G (γ
) = ˜
H ˜
G (γ).
On a aussi l’égalité
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) = lim
a→1
˜
L∈L( ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f),
la limite étant prise au même sens qu’en 1.2. Plus précisément
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) −
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
Supposons que γ est ˜
G-équisingulier. Alors