II.1. Intégrales orbitales pondérées
199
(4) il existe f
∈ C
∞
c ( ˜
M (F )) et un voisinage de γ dans ˜
M (F ) tels que, pour γ
dans ce voisinage, on ait l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f) = I
˜
M (γ
, ω, f
).
Pour la cinquième propriété, il est plus simple de se débarrasser des mesures.
Rappelons que pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ), on dispose d’applications linéaires en dualité
I( ˜
L(F ), ω) ⊗ Mes(L(F )) → I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
f
→
f ˜
M
et
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
L(F ), ω) ⊗ Mes(L(F ))
∗
γ
→
γ
˜
L .
Remarquons que si γ est l’intégrale orbitale dans ˜
M (F ) associée à un élément
˜
G-équisingulier de ˜
M (F ), γ
˜
L est l’intégrale orbitale dans ˜
L(F ) associée au même
élément.
Remarque. Même si on impose que ω est trivial sur Z(G; F )
θ , ω peut ne pas
être trivial sur Z(M ; F )
θ pour un espace de Levi ˜
M . Dans ce cas, les espaces
I( ˜
M (F ), ω) et D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) sont nuls.
Pour deux éléments ˜
L, ˜
L
∈ P( ˜
M ), on définit le réel d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
) : il est nul sauf
si A
˜
G
˜
M
= A
˜
L
˜
M
⊕ A
˜
L
˜
M
; si cette égalité est vérifiée, c’est le rapport entre la mesure
sur le premier espace et le produit des mesures sur les deux espaces du second
membre.
Lemme. Soient ˜
L ∈ L( ˜
M ), γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité
I
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , f ) =
˜
L ∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
)I
˜
L
˜
M
(γ, f ˜
L ).
Preuve. On peut fixer des mesures et supposer que γ est l’intégrale orbitale associée à un élément γ ∈ ˜
M (F ). Supposons que γ est ˜
G-équisingulier. Alors la preuve
de la formule est essentiellement formelle à partir de la formule de descente des
poids, cf. [7] preuve du théorème 8.1. Traitons le cas général. Pour a ∈ A ˜
M (F ) en
position générale, posons
ϕ(a) =
˜
R∈L( ˜
L)
r
˜
R
˜
L
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f).
Par une formule de descente, on a pour tout ˜
R l’égalité
r
˜
R
˜
L
(γ, a) =
˜
R ∈L( ˜
M); ˜
R ⊂ ˜
R
d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)r
˜
R
˜
M
(γ, a).