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Chapitre II. Enoncés des résultats
D’où
ϕ(a) =
˜
R ∈L( ˜
M)
r
˜
R
˜
M
(γ, a)
˜
R∈L( ˜
L); ˜
R ⊂ ˜
R
d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f).
Fixons ˜
R
et ˜
R. Puisque R
aγ = G aγ , on peut utiliser la formule de l’énoncé pour
cet élément. D’où
I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f) =
˜
L ∈L( ˜
R )
d
˜
G
˜
R ( ˜
R, ˜
L
)I
˜
L
˜
R (aγ, ω, f ˜
L ,ω ).
Puis
ϕ(a) =
˜
L ∈L( ˜
M)
˜
R ∈L
˜
L ( ˜
M )
x( ˜
R
, ˜
L
)r
˜
R
˜
M
(γ, a)I
˜
L
˜
R (aγ, ω, f ˜
L ,ω ),
où x( ˜
R
, ˜
L
) est la somme sur les ˜
R ∈ L( ˜
L) tels que ˜
R
⊂ ˜
R des produits
d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)d
˜
G
˜
R ( ˜
R, ˜
L
).
Considérons l’ensemble A des couples d’espace de Levi ( ˜
L
, ˜
R
) tels que ˜
M ⊂ ˜
R
⊂
˜
L
et d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
) = 0. Considérons l’ensemble B des triplets ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) tels que
˜
M ⊂ ˜
R
⊂ ˜
L
, ˜
L ⊂ ˜
R, ˜
R
⊂ ˜
R et d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)d
˜
G
˜
R ( ˜
R, ˜
L
) = 0. Montrons que l’on a
(5) l’application ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) → ( ˜
L
, ˜
R
) est une bijection de B sur A ; pour ( ˜
L
,
˜
R
, ˜
R) ∈ B, on a l’égalité
d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)d
˜
G
˜
R ( ˜
R, ˜
L
) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
).
Soit ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) ∈ B. La non-nullité de d
˜
R
˜
M
( ˜
L, ˜
R
)d
˜
G
˜
R ( ˜
R, ˜
L
) équivaut aux
relations
(6)
A
˜
R
˜
M
= A
˜
L
˜
M
⊕ A
˜
R
˜
M
et
(7)
A
˜
G
˜
R = A
˜
R
˜
R ⊕ A
˜
L
˜
R .
D’où
A
˜
G
˜
M
= A
˜
R
˜
M
⊕A
˜
G
˜
R = A
˜
R
˜
M
⊕A
˜
R
˜
R ⊕A
˜
L
˜
R = A
˜
R
˜
M
⊕A
˜
L
˜
R = A
˜
L
˜
M
⊕A
˜
R
˜
M
⊕A
˜
L
˜
R = A
˜
L
˜
M
⊕A
˜
L
˜
M
.
D’où l’égalité
(8)
A
˜
G
˜
M
= A
˜
L
˜
M
⊕ A
˜
L
˜
M
des termes extrêmes, qui équivaut à la non-nullité de d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
). Cela prouve que
( ˜
L
, ˜
R
) ∈ A. Inversement, soit ( ˜
L
, ˜
R
) ∈ A. On doit prouver qu’il existe exactement un espace de Levi ˜
R tel que ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) ∈ B. Il y en a au plus un : il est