II.1. Intégrales orbitales pondérées
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déterminé par la relation (6). Montrons que ce ˜
R existe. On le définit comme le
commutant dans ˜
G du tore (A ˜
L ∩ A ˜
R )
0 . D’après [I] 3.1(11), cet ensemble est un
espace de Levi pourvu qu’il ne soit pas vide. Or il n’est pas vide puisque sa définition implique qu’il contient ˜
L et ˜
R
. Ces deux inclusions impliquent A ˜
R ⊂ A ˜
L
et A ˜
R ⊂ A ˜
R . On a aussi par définition (A ˜
L ∩ A ˜
R )
0
⊂ A ˜
R . On obtient donc
(A ˜
L ∩ A ˜
R )
0
⊂ A ˜
R ⊂ A ˜
L ∩ A ˜
R
d’où l’égalité (A ˜
L ∩ A ˜
R )
0 = A ˜
R puisque ce dernier ensemble est connexe. Cette
égalité est équivalente à A ˜
R = A ˜
L ∩ A ˜
R . Par passage aux orthogonaux dans A ˜
M ,
on obtient A
˜
R
˜
M
= A
˜
L
˜
M
+A
˜
R
˜
M
. Mais ces deux derniers espaces sont en somme directe
d’après l’inclusion ˜
R
⊂ ˜
L
et d’après (8). Donc (6) est vérifié. On a montré cidessus que (6) et (7) impliquaient (8). Le calcul est réversible : (6) et (8) impliquent
(7). Puisque ˜
R vérifie (6) et (7), on a ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) ∈ B. La dernière assertion de (5)
s’obtient facilement en précisant le calcul qui a conduit ci-dessus à l’égalité (8).
Cela prouve (5).
Cette propriété entraîne que, pour ˜
L
et ˜
R
intervenant dans l’expression de
ϕ(a) ci-dessus, on a x( ˜
R
, ˜
L
) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
). Alors
ϕ(a) =
˜
L ∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
)
˜
R ∈L
˜
L ( ˜
M)
r
˜
R
˜
M
(γ, a)I
˜
L
˜
R (aγ, ω, f ˜
L ,ω ).
Pour tout ˜
L
, la relation (2) nous dit que la somme en ˜
R
tend vers I
˜
L
˜
M
(γ, ω, f ˜
L ,ω )
quand a tend vers 1. Donc, quand a tend vers 1, ϕ(a) tend vers le membre de
droite de l’égalité de l’énoncé.
Fixons b ∈ A ˜
L (F ) en position générale et faisons tendre a vers b. Pour ˜
R ∈
L( ˜
L), on applique (4) : il existe f
∈ C
∞
c ( ˜
R(F )) tel que I
˜
G
˜
R
(γ
, ω, f) = I
˜
R (γ
, ω, f
)
pour tout γ
∈ ˜
R(F ) assez proche de bγ. Le deuxième terme est une intégrale
orbitale ordinaire. En appliquant la formule de descente usuelle pour ces intégrales,
on a
I
˜
R (aγ, ω, f
) = I
˜
M (aγ, ω, (f
) ˜
M,ω ).
La limite de cette expression quand a tend vers b est I
˜
M (bγ, ω, (f
) ˜
M,ω ). Par définition de l’induction, c’est I
˜
L (bγ
˜
L , (f
) ˜
L,ω ). Ecrivons la distribution γ
˜
L comme une
combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments γ i de l’orbite
induite de γ :
I
˜
L (γ
˜
L , ψ) =
i=1,...,n
c i I
˜
L (γ i , ω, ψ)
pour tout ψ ∈ C
∞
c ( ˜
L(F )). Puisque b ∈ A ˜
L (F ), on a la même égalité si l’on
remplace γ
˜
L par bγ
˜
L et les γ i par bγ i . Donc
lim
a→b
I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f) =
i=1,...,n
c i I
˜
L (bγ i , ω, (f
) ˜
L,ω ).