202
Chapitre II. Enoncés des résultats
Puisque b est en position générale, le membre de droite n’est autre que
i=1,...,n
c i I
˜
R (bγ i , ω, f
).
En revenant à la définition de f
, on obtient
lim
a→b
I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f) =
i=1,...,n
c i I
˜
G
˜
R
(bγ i , ω, f).
On montrera plus loin que, pour tout i = 1, . . . , n, on a l’égalité
(9)
lim
a→b
r
˜
R
˜
L
(γ, a) = r
˜
R
˜
L
(γ i , b).
Admettant cela, on obtient
lim
a→b
ϕ(a) =
i=1,...,n
c i
˜
R∈L( ˜
L)
r
˜
R
˜
L
(γ i , b)I
˜
G
˜
R
(bγ i , ω, f).
En utilisant la relation (2), on voit que cette expression a une limite quand b tend
vers 1. Plus précisément,
lim
b→1
lim
a→b
ϕ(a) =
i=1,...,n
c i I
˜
G
˜
L
(γ i , ω, f).
La limite de gauche est égale à lim a→1 ϕ(a), puisque cette dernière limite existe.
Par définition, la somme de droite ci-dessus n’est autre que le membre de gauche
de l’égalité de l’énoncé. Donc lim a→1 ϕ(a) est égale au membre de gauche de cette
égalité. On a déjà prouvé qu’elle était égale au membre de droite. Cela conclut.
Il reste à prouver l’égalité (9). On se ramène aisément à prouver que, pour
˜
Q ∈ P( ˜
L) et λ ∈ iA
∗
˜
L
, on a l’égalité similaire
(10)
lim
a→b
r ˜
Q (γ, a; λ) = r ˜
Q (γ i , b; λ).
Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ) avec ˜
P ⊂ ˜
Q. Le terme r ˜
Q (γ, a; λ) est produit sur les α
∈ Σ(A ˜
M )
qui sont positifs pour P de
|α
(a) − α
(a)
−1
|
λ,ρ(α
,γ)/2
F
.
Parce que λ ∈ iA
∗
˜
L
, ce terme vaut 1 si la restriction de α
à A ˜
L est nulle. Soit α
de restriction non nulle à A ˜
L . Alors cette restriction α appartient à Σ(A ˜
L ). Que
α
soit positive pour P équivaut à ce que α soit positive pour Q. D’autre part,
lim
a→b
|α
(a) − α
(a)
−1
| F = |α(b) − α(b)
−1
| F .