II.1. Intégrales orbitales pondérées
203
Donc
lim
a→b
r ˜
Q (γ, a; λ) =
α∈Σ(A ˜
L );α>Q0
|α(b) − α(b)
−1
|
λ,ρ(α,γ)/2
F
,
où on a posé
ρ(α, γ) =
α ∈Σ(A ˜
M );α
˜
L
=α
ρ(α
, γ) ˜
L .
En comparant avec la définition de r ˜
Q (γ i , b; λ), on voit que (10) résulte de l’égalité
(11)
ρ(α, γ) = ρ(α, γ i )
pour tout α ∈ Σ(A ˜
L ). Ecrivons γ = uη comme en 1.2. Alors on peut supposer que
γ i = u i η, où u i appartient à la classe de conjugaison dans L η induite par la classe
de conjugaison de u dans M η . Par définition,
ρ(α, γ i ) =
β∈Σ(AL η );β ˜
L =α
ρ
Gη (β, u i ) ˜
L ,
ρ(α, γ) =
α ∈Σ(A ˜
M );α
˜
L
=α
β ∈Σ(AM η ),β
˜
M
=α
ρ
Gη (β
, u) ˜
L .
On peut récrire
ρ(α, γ) =
β ∈Σ(AM η );β
˜
L
=α
ρ
Gη (β
, u) ˜
L
=
β∈Σ(AL η );β ˜
L =α
β ∈Σ(AM η );β
Lη =β
ρ
Gη (β
, u) ˜
L .
Mais alors l’égalité (11) résulte de 1.4(4). Cela achève la démonstration.
On peut préciser la preuve ci-dessus : pour montrer que ϕ(a) tend vers le
membre de droite de l’égalité de l’énoncé, utilisons la relation (3) au lieu de (2). On
obtient (en notant γ
˜
L la distribution induite de l’intégrale orbitale associée à γ) :
(12) existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ) et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|I
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , f) −
˜
R∈L( ˜
L)
r
˜
R
˜
L
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, ω, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.
II.1.8 Variantes des termes ρ(β, u)
On suppose dans ce paragraphe G = ˜
G et ω = 1. On fixe une paire de Borel
épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G définie sur ¯
F . On introduit une extension finie