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Chapitre II. Enoncés des résultats
F
de F telle que E soit définie sur F
et G soit déployé sur F
. On introduit aussi
l’action galoisienne quasi-déployée σ → σ G ∗ qui conserve E, cf. [I] 1.2. Notons
Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. On a fixé en 1.2 une forme quadratique
définie positive sur X ∗ (T ) ⊗ R, d’où, par dualité, une telle forme sur X
∗ (T ) ⊗ R,
que l’on note (., .).
On fixe une fonction B sur Σ(T ) à valeurs dans l’ensemble Q >0 des rationnels
strictement positifs. On lui impose les conditions suivantes :
• B(−β) = B(β), B(σ G ∗ (β)) = B(β) et B(wβ) = B(β) pour tout β ∈ Σ(T ),
tout σ ∈ Γ F et tout w ∈ W ;
• pour toute composante irréductible Σ
du système de racines Σ(T ), ou bien
B est constante sur Σ
, ou bien la fonction β →
B(β)
(β,β) est constante sur Σ
.
On pose V
∗ = X
∗ (T ) ⊗ R, V ∗ = X ∗ (T ) ⊗ R. Définissons les sous-ensembles
Σ(T, B) = {B(β)
−1 β; β ∈ Σ(T )} de V
∗ et ˇ
Σ(T, B) = {B(β) ˇ
β; β ∈ Σ(T )} de V ∗ .
On va voir que Σ(T, B) est un système de racines dont ˇ
Σ(T, B) est l’ensemble
associé de coracines. On note Z
∗ l’annulateur dans V
∗ de l’ensemble de coracines
ˇ
Σ(T ) et Z ∗ l’annulateur dans V ∗ de l’ensemble Σ(T ). Pour tout sous-système
irréductible Σ
de Σ(T ), on note V
∗ (Σ
), resp. V ∗ ( ˇ
Σ
), le sous-espace de V
∗ , resp.
V ∗ , engendré par Σ
, resp. par l’ensemble correspondant ˇ
Σ
de coracines. On a
V
∗ = Z
∗
⊕ (⊕ Σ ∈Irr V
∗ (Σ
)), V ∗ = Z ∗ ⊕ (⊕ Σ ∈Irr V ∗ ( ˇ
Σ
)),
où Irr est l’ensemble des composantes irréductibles. Notons Irr + l’ensemble des
composantes sur lesquelles B est constante et notons Irr − le complémentaire. Posons
V (B)
∗ = Z
∗
⊕ (⊕ Σ ∈Irr+ V
∗ (Σ
)) ⊕ (⊕ Σ ∈Irr− V ∗ ( ˇ
Σ
)),
V (B) ∗ = Z ∗ ⊕ (⊕ Σ ∈Irr+ V ∗ ( ˇ
Σ
)) ⊕ (⊕ Σ ∈Irr− V
∗ (Σ
)).
Notons ι
∗
Z ∗ l’identité de Z
∗ . Pour Σ
∈ Irr + , notons ι
∗
Σ l’homothétie de V
∗ (Σ
) de
rapport la valeur constante de B sur Σ
. Pour Σ
∈ Irr − , notons ι
∗
Σ : V
∗ (Σ
) →
V ∗ ( ˇ
Σ
) la composée de l’isomorphisme déduit de la forme quadratique fixée (cet
isomorphisme envoie une racine β sur (β, β) ˇ
β/2) et de l’homothétie de rapport la
valeur constante sur Σ
de la fonction β → 2B(β)(β, β)
−1 . On note ι
∗ : V
∗
→
V (B)
∗ la somme directe de ι
∗
Z ∗ et des ι
∗
Σ . On note ι ∗ : V ∗ → V (B) ∗ l’inverse du
transposé de ι
∗ . On vérifie que ι ∗ envoie Σ(T, B) sur
(1)
( Σ ∈Irr+ Σ
) ( Σ ∈Irr− ˇ
Σ
),
tandis que ι ∗ envoie ˇ
Σ(T, B) sur
(2)
( Σ ∈Irr+ ˇ
Σ
) ( Σ ∈Irr− Σ
).
Il est clair que l’ensemble (1) est un ensemble de racines dont l’ensemble (2) est
l’ensemble associé de coracines.
Notons j : Σ(T ) → Σ(T, B) l’application β → B(β)
−1 β. L’application composée ι
∗
◦ j est la somme, composante par composante, soit de l’identité, soit de