II.1. Intégrales orbitales pondérées
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l’échange β → ˇ
β. Il en résulte que, pour un sous-ensemble Σ 0 ⊂ Σ(T ), Σ 0 est un
sous-système de racines, resp. un sous-ensemble de Levi, de Σ(T ) si et seulement si
j(Σ 0 ) est un sous-système de racines, resp. un sous-ensemble de Levi, de Σ(T, B).
Notons que j est équivariante pous l’action de W et pour l’action galoisienne
quasi-déployée.
La propriété suivante sera essentielle pour nos constructions futures :
(3) soit R un sous-Z-module de V
∗ ; notons Σ R l’ensemble des β ∈ Σ(T ) telles
que B(β)
−1 β ∈ R et posons ˇ
Σ R = { ˇ
β; β ∈ Σ R } ; alors Σ R est un système de
racines et ˇ
Σ R est le système de coracines associé.
Evidemment, la terminologie «système de racines» est ici utilisée au sens
étendu : on n’affirme pas que les racines dans Σ R engendrent tout l’espace V
∗ . Ce
n’est en général déjà pas le cas de Σ(T ).
Preuve de (3). On peut utiliser les constructions ci-dessus mais le plus simple est
de revenir à la définition de Bourbaki. Toutes les conditions de la définition 1 de [30]
VI.1.1 sont vérifiées de façon évidente (en oubliant la condition d’engendrement
de V
∗ ) sauf la suivante : pour β ∈ Σ R , la symétrie s : α → α −
ˇ
β, α
β conserve
Σ R . On doit la prouver. Soit α ∈ Σ R . Si α n’appartient pas à la même composante
irréductible de Σ(T ) que β, on a s(α) = α qui appartient à Σ R .Supposons que α
appartienne à la même composante irréductible de Σ(T ) que β. Sur cette composante, B est constante ou proportionnelle au carré de la norme. Si B est constante
de valeurs b, on doit prouver que b
−1 s(α) appartient à R. C’est clair puisque b
−1 α
et b
−1 β appartiennent à R, que
ˇ
β, α
est entier et que R est un Z-module. Supposons que B soit proportionnelle au carré de la norme, disons B(α
) = b(α
, α
) pour
tout α
dans la composante. On doit prouver que b
−1 (s(α), s(α))
−1 s(α) appartient
à R. Puisque s est une isométrie, on a
b
−1 (s(α), s(α))
−1 s(α) = b
−1 (α, α)
−1 s(α) = b
−1 (α, α)
−1 α − cb
−1 (β, β)
−1 β,
où
c = (β, β)(α, α)
−1
ˇ
β, α
.
Les termes b
−1 (α, α)
−1 α et b
−1 (β, β)
−1 β appartiennent à R par hypothèse et il
suffit de vérifier que c est entier. Or on sait que
ˇ
β, α
=
2β
(β, β)
, α
= (β, β)
−1 (α, α) ˇ
α, β .
Donc c = ˇ
α, β et ce terme est entier. Cela prouve (3).
Dans la situation de (3), il existe un unique groupe réductif G R connexe défini
et déployé sur F
, qui contient T comme sous-tore maximal et dont le système de
racines est Σ R . L’inclusion Σ R ⊂ Σ(T ) entraîne que Z(G) ⊂ Z(G R ). Du côté dual,
ˆ
G possède un sous-tore maximal ˆ
T et son système de racines s’identifie à ˇ
Σ(T ).
Le groupe dual ˆ
G R contient le même tore et son système de racines s’identifie au
sous-ensemble ˇ
Σ R . De nouveau, on obtient l’inclusion Z( ˆ
G) ⊂ Z( ˆ
G R ).