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Chapitre II. Enoncés des résultats
Considérons maintenant un Levi M de G et supposons que M soit standard
relativement à E. On note Σ(Z(M )
0 , B) l’ensemble des restrictions non nulles à
X ∗ (Z(M )
0 ) × R des B(β
)
−1 β
pour β
∈ Σ(T ), ou encore des β pour β ∈ Σ(T, B).
L’interprétation ci-dessus montre que cet ensemble a beaucoup de propriétés communes avec celui des racines Σ(Z(M )
0 ). D’abord, pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), on peut
définir le groupe de Levi M β (sur F
) tel que X ∗ (Z(M β )
0 ) ⊗ R soit l’annulateur
de β dans X ∗ (Z(M )
0 ) × R. On a aussi
(4) supposons que M soit maximal parmi les Levi propres de G ; alors il existe
il unique entier n ≥ 1 et, au signe près, un unique β ∈ Σ(Z(M )
0 , B) tel que
Σ(Z(M )
0 , B) = {±kβ; k = 1, . . . , n} ;
(5) pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), l’ensemble Σ β des β
∈ Σ(T ) tels que la restriction de
B(β
)
−1 β
à X ∗ (Z(M )
0 )×R soit de la forme kβ avec k ∈ Z (y compris k = 0)
est un sous-système de racines de Σ(T ) qui contient Σ
M (T ) ; l’ensemble de
coracines associé est { ˇ
β
; β
∈ Σ β }.
Cette dernière assertion est un cas particulier de (3). En conséquence, dans
la situation (5), il existe à isomorphisme près un unique groupe réductif connexe
défini et déployé sur F
qui possède un tore maximal isomorphe à T et dont le
système de racines est l’ensemble Σ β . On le note G β . Il possède un groupe de Levi
isomorphe à M et on identifie ce sous-groupe à M . On note encore B la restriction
de B à l’ensemble de racines de G β ; cette restriction vérifie les mêmes conditions
que la fonction de départ.
Attention. Le groupe G β n’est pas, en général, un sous-groupe de G. Par exemple,
considérons G = SO(5), M = GL(1) × SO(3) et une fonction B proportionnelle
au carré de la longueur. L’ensemble Σ(Z(M )
0 , B) a deux éléments α et 2α. On
vérifie que G 2α = SO(3) × SO(3).
Soit u un élément unipotent de M (F
). Pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), on définit un terme ρ
G (β, u, B) ∈ X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ R par récurrence sur dim(G SC ). Si
dim(G β,SC ) < dim(G SC ), on suppose défini ρ
G β (β, u, B) et on pose ρ
G (β, u, B) =
ρ
G β (β, u, B). Si dim(G β,SC ) = dim(G SC ), on a G = G β et on est dans la situation (3). On note β
l’unique élément de Σ ind (Z(M )
0 ) qui est de la forme qβ avec
q ∈ Q >0 . Les termes ρ
G (kβ, u, B) pour k ≥ 2 ont déjà été définis et on pose
(6)
ρ
G (β, u, B) =
k≥1
ρ
G (kβ
, u)
−
k≥2
ρ
G (kβ, u, B)
,
où ρ
G (kβ
, u) est le terme défini en 1.4.
On redescend maintenant à la situation définie sur F . On note Σ(A M , B)
l’ensemble des restrictions non nulles à a M d’éléments de Σ(Z(M )
0 , B). On note
cette restriction β → β AM . Soit u un élément unipotent de M (F ). Pour α ∈
Σ(A M , B), on pose
ρ
G (α, u, B) =
β∈Σ(Z(M) 0 ,B);βA M =α
ρ
G (β, u, B) AM .
Chapitre II. Enoncés des résultats
Considérons maintenant un Levi M de G et supposons que M soit standard
relativement à E. On note Σ(Z(M )
0 , B) l’ensemble des restrictions non nulles à
X ∗ (Z(M )
0 ) × R des B(β
)
−1 β
pour β
∈ Σ(T ), ou encore des β pour β ∈ Σ(T, B).
L’interprétation ci-dessus montre que cet ensemble a beaucoup de propriétés communes avec celui des racines Σ(Z(M )
0 ). D’abord, pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), on peut
définir le groupe de Levi M β (sur F
) tel que X ∗ (Z(M β )
0 ) ⊗ R soit l’annulateur
de β dans X ∗ (Z(M )
0 ) × R. On a aussi
(4) supposons que M soit maximal parmi les Levi propres de G ; alors il existe
il unique entier n ≥ 1 et, au signe près, un unique β ∈ Σ(Z(M )
0 , B) tel que
Σ(Z(M )
0 , B) = {±kβ; k = 1, . . . , n} ;
(5) pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), l’ensemble Σ β des β
∈ Σ(T ) tels que la restriction de
B(β
)
−1 β
à X ∗ (Z(M )
0 )×R soit de la forme kβ avec k ∈ Z (y compris k = 0)
est un sous-système de racines de Σ(T ) qui contient Σ
M (T ) ; l’ensemble de
coracines associé est { ˇ
β
; β
∈ Σ β }.
Cette dernière assertion est un cas particulier de (3). En conséquence, dans
la situation (5), il existe à isomorphisme près un unique groupe réductif connexe
défini et déployé sur F
qui possède un tore maximal isomorphe à T et dont le
système de racines est l’ensemble Σ β . On le note G β . Il possède un groupe de Levi
isomorphe à M et on identifie ce sous-groupe à M . On note encore B la restriction
de B à l’ensemble de racines de G β ; cette restriction vérifie les mêmes conditions
que la fonction de départ.
Attention. Le groupe G β n’est pas, en général, un sous-groupe de G. Par exemple,
considérons G = SO(5), M = GL(1) × SO(3) et une fonction B proportionnelle
au carré de la longueur. L’ensemble Σ(Z(M )
0 , B) a deux éléments α et 2α. On
vérifie que G 2α = SO(3) × SO(3).
Soit u un élément unipotent de M (F
). Pour β ∈ Σ(Z(M )
0 , B), on définit un terme ρ
G (β, u, B) ∈ X ∗ (Z(M )
0 ) ⊗ R par récurrence sur dim(G SC ). Si
dim(G β,SC ) < dim(G SC ), on suppose défini ρ
G β (β, u, B) et on pose ρ
G (β, u, B) =
ρ
G β (β, u, B). Si dim(G β,SC ) = dim(G SC ), on a G = G β et on est dans la situation (3). On note β
l’unique élément de Σ ind (Z(M )
0 ) qui est de la forme qβ avec
q ∈ Q >0 . Les termes ρ
G (kβ, u, B) pour k ≥ 2 ont déjà été définis et on pose
(6)
ρ
G (β, u, B) =
k≥1
ρ
G (kβ
, u)
−
k≥2
ρ
G (kβ, u, B)
,
où ρ
G (kβ
, u) est le terme défini en 1.4.
On redescend maintenant à la situation définie sur F . On note Σ(A M , B)
l’ensemble des restrictions non nulles à a M d’éléments de Σ(Z(M )
0 , B). On note
cette restriction β → β AM . Soit u un élément unipotent de M (F ). Pour α ∈
Σ(A M , B), on pose
ρ
G (α, u, B) =
β∈Σ(Z(M) 0 ,B);βA M =α
ρ
G (β, u, B) AM .