II.1. Intégrales orbitales pondérées
207
Pour α ∈ Σ(A M , B), introduisons l’ensemble des β
∈ Σ(T ) tels que la restriction de B(β
)
−1 β
à A M est de la forme kα avec k ∈ Z. Comme précédemment,
c’est le système de racines d’un groupe connexe G α et M s’identifie à un groupe de
Levi de G α . On peut munir ce groupe d’une structure sur F de la façon suivante.
Tout d’abord, parce que l’action galoisienne quasi-déployée (comme l’action naturelle) est triviale sur A M , la propriété d’invariance de B implique que le système
de racines de G α est conservé par cette action. On peut munir conformément le
groupe G α d’une action galoisienne σ → σ G ∗ α quasi-déployée sur F . On peut imposer que cette action coïncide sur M avec l’action σ → σ G ∗ . On a une égalité
σ G = ad uE (σ) −1 ◦σ G ∗ où σ G est l’action naturelle, cf. [I]1.2. Puisque M est un Levi
standard, on a u E (σ) ∈ M et u
−1
E est un cocycle à valeurs dans M/Z(G) (muni de
l’action quasi-déployée). Il est clair que Z(G) ⊂ Z(G α ), donc u E se pousse en un
cocycle à valeurs dans M/Z(G α ). On voit alors que la formule σ Gα = ad
−1
uE (σ) ◦σ G ∗ α
munit G α d’une action galoisienne qui coïncide sur M avec l’action naturelle. En
dévissant les définitions, on vérifie l’égalité
(7) ρ
G (α, u, B) = ρ
Gα (α, u, B).
Il y a une bijection entre les sous-ensembles d’éléments indivisibles Σ ind (A M )
et Σ ind (A M , B). A un élément α
∈ Σ ind (A M ), on associe l’unique élément α de
Σ ind (A M , B) tel que α = qα
avec q ∈ Q >0 . Pour α
et α se correspondant ainsi,
on a
(8)
n≥1
ρ
G (nα
, u) =
n≥1
ρ
G (nα, u, B).
Preuve. Le membre de gauche est la somme des ρ
G (β
, u) AM pour β
∈ Σ(Z(M )
0 )
se restreignant en un multiple positif de α
. Ou encore
β ∈Σ ind (Z(M) 0 );β
A M
∈N>0α
n≥1
ρ
G (nβ
, u) AM .
De même, le membre de droite est
β∈Σ ind (Z(M) 0 ,B);βA M ∈N>0α
n≥1
ρ
G (nβ, u, B) AM .
Il y a une bijection similaire à la précédente entre Σ ind (Z(M )
0 ) et Σ ind (Z(M )
0 , B).
Il est clair que si β
→ β par cette bijection, β
se restreint en un multiple positif
de α
si et seulement si β se restreint en un multiple positif de α. Il suffit de fixer
β
et β indivibles et se correspondant et de prouver l’égalité
n≥1
ρ
G (nβ
, u) =
n≥1
ρ
G (nβ, u, B).
On introduit le Levi M
engendré par M et les espaces radiciels associés aux nβ
pour n ∈ Z. Il résulte des définitions que les termes ci-dessus ne changent pas si
207
Pour α ∈ Σ(A M , B), introduisons l’ensemble des β
∈ Σ(T ) tels que la restriction de B(β
)
−1 β
à A M est de la forme kα avec k ∈ Z. Comme précédemment,
c’est le système de racines d’un groupe connexe G α et M s’identifie à un groupe de
Levi de G α . On peut munir ce groupe d’une structure sur F de la façon suivante.
Tout d’abord, parce que l’action galoisienne quasi-déployée (comme l’action naturelle) est triviale sur A M , la propriété d’invariance de B implique que le système
de racines de G α est conservé par cette action. On peut munir conformément le
groupe G α d’une action galoisienne σ → σ G ∗ α quasi-déployée sur F . On peut imposer que cette action coïncide sur M avec l’action σ → σ G ∗ . On a une égalité
σ G = ad uE (σ) −1 ◦σ G ∗ où σ G est l’action naturelle, cf. [I]1.2. Puisque M est un Levi
standard, on a u E (σ) ∈ M et u
−1
E est un cocycle à valeurs dans M/Z(G) (muni de
l’action quasi-déployée). Il est clair que Z(G) ⊂ Z(G α ), donc u E se pousse en un
cocycle à valeurs dans M/Z(G α ). On voit alors que la formule σ Gα = ad
−1
uE (σ) ◦σ G ∗ α
munit G α d’une action galoisienne qui coïncide sur M avec l’action naturelle. En
dévissant les définitions, on vérifie l’égalité
(7) ρ
G (α, u, B) = ρ
Gα (α, u, B).
Il y a une bijection entre les sous-ensembles d’éléments indivisibles Σ ind (A M )
et Σ ind (A M , B). A un élément α
∈ Σ ind (A M ), on associe l’unique élément α de
Σ ind (A M , B) tel que α = qα
avec q ∈ Q >0 . Pour α
et α se correspondant ainsi,
on a
(8)
n≥1
ρ
G (nα
, u) =
n≥1
ρ
G (nα, u, B).
Preuve. Le membre de gauche est la somme des ρ
G (β
, u) AM pour β
∈ Σ(Z(M )
0 )
se restreignant en un multiple positif de α
. Ou encore
β ∈Σ ind (Z(M) 0 );β
A M
∈N>0α
n≥1
ρ
G (nβ
, u) AM .
De même, le membre de droite est
β∈Σ ind (Z(M) 0 ,B);βA M ∈N>0α
n≥1
ρ
G (nβ, u, B) AM .
Il y a une bijection similaire à la précédente entre Σ ind (Z(M )
0 ) et Σ ind (Z(M )
0 , B).
Il est clair que si β
→ β par cette bijection, β
se restreint en un multiple positif
de α
si et seulement si β se restreint en un multiple positif de α. Il suffit de fixer
β
et β indivibles et se correspondant et de prouver l’égalité
n≥1
ρ
G (nβ
, u) =
n≥1
ρ
G (nβ, u, B).
On introduit le Levi M
engendré par M et les espaces radiciels associés aux nβ
pour n ∈ Z. Il résulte des définitions que les termes ci-dessus ne changent pas si