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Chapitre II. Enoncés des résultats
l’on remplace G par M
. Cela nous ramène au cas où M est propre maximal. Mais
alors, la relation cherchée résulte de la définition (6).
Nos termes ρ
G (α, u, B) vérifient une propriété analogue à 1.4(4). Précisément,
dans la situation de cette relation, pour α
∈ Σ(A L , B), on a l’égalité
(9) ρ
G (α
, u
, B) =
α∈Σ(AM ,B);αL=α ρ
G (α, u, B) L .
Preuve. On introduit le groupe G α comme ci-dessus, relatif au Levi L. On voit
facilement, en utilisant la relation (7) ci-dessus que les deux membres de (9) ne
changent pas si l’on remplace G par G α . Cela nous ramène par récurrence au cas
où G α = G. Dans ce cas, L est un Levi propre maximal et α
∈ Σ ind (A L , B). Pour
n ≥ 2, on a déjà démontré la relation (9) relative à nα
. La relation à démontrer
est donc équivalente à
(10)
n≥1
ρ
G (nα
, u
, B) =
n≥1
α∈Σ(AM ,B);αL=nα
ρ
G (α, u, B) L .
On peut écrire le membre de droite comme
α∈Σ ind (AM ,B);αL∈N>0α
n≥1
ρ
G (nα, u, B) L .
Notons ici β
l’élément de Σ ind (A L ) qui correspond à α
. En utilisant (8), c’est
égal à
β∈Σ ind (AM );βL∈N>0β
n≥1
ρ
G (nβ, u) L .
Ou encore à
n≥1
β∈Σ(AM );βL=nβ
ρ
G (β, u) L .
D’après 1.4(4), c’est aussi
n≥1
ρ
G (nβ
, u).
Toujours d’après (8), c’est aussi le membre de gauche de (10). Cela prouve (9).
A l’aide des constructions ci-dessus, on peut définir des variantes J
G
M (u, B, f )
et I
G
M (u, B, f ) des intégrales orbitales de 1.5 et 1.6. Nous ne donnons pas les
preuves nécessaires car elles sont identiques à celles que nous ferons dans le paragraphe suivant. Un élément α ∈ Σ(A M , B) est une forme linéaire sur a M et
n’appartient pas forcément à X
∗ (A M ). Toutefois, il existe un entier n ≥ 1 tel que
nα ∈ X
∗ (A M ). Pour a ∈ A M (F ) assez proche de 1, on peut définir α(a) de la façon
suivante. On choisit un entier n ≥ 1 tel que nα ∈ X
∗ (A M ), on écrit a = exp(H)
avec H ∈ a M (F ) proche de 0 et on pose α(a) = exp(
(nα)(H)
n
). Pour un élément
Chapitre II. Enoncés des résultats
l’on remplace G par M
. Cela nous ramène au cas où M est propre maximal. Mais
alors, la relation cherchée résulte de la définition (6).
Nos termes ρ
G (α, u, B) vérifient une propriété analogue à 1.4(4). Précisément,
dans la situation de cette relation, pour α
∈ Σ(A L , B), on a l’égalité
(9) ρ
G (α
, u
, B) =
α∈Σ(AM ,B);αL=α ρ
G (α, u, B) L .
Preuve. On introduit le groupe G α comme ci-dessus, relatif au Levi L. On voit
facilement, en utilisant la relation (7) ci-dessus que les deux membres de (9) ne
changent pas si l’on remplace G par G α . Cela nous ramène par récurrence au cas
où G α = G. Dans ce cas, L est un Levi propre maximal et α
∈ Σ ind (A L , B). Pour
n ≥ 2, on a déjà démontré la relation (9) relative à nα
. La relation à démontrer
est donc équivalente à
(10)
n≥1
ρ
G (nα
, u
, B) =
n≥1
α∈Σ(AM ,B);αL=nα
ρ
G (α, u, B) L .
On peut écrire le membre de droite comme
α∈Σ ind (AM ,B);αL∈N>0α
n≥1
ρ
G (nα, u, B) L .
Notons ici β
l’élément de Σ ind (A L ) qui correspond à α
. En utilisant (8), c’est
égal à
β∈Σ ind (AM );βL∈N>0β
n≥1
ρ
G (nβ, u) L .
Ou encore à
n≥1
β∈Σ(AM );βL=nβ
ρ
G (β, u) L .
D’après 1.4(4), c’est aussi
n≥1
ρ
G (nβ
, u).
Toujours d’après (8), c’est aussi le membre de gauche de (10). Cela prouve (9).
A l’aide des constructions ci-dessus, on peut définir des variantes J
G
M (u, B, f )
et I
G
M (u, B, f ) des intégrales orbitales de 1.5 et 1.6. Nous ne donnons pas les
preuves nécessaires car elles sont identiques à celles que nous ferons dans le paragraphe suivant. Un élément α ∈ Σ(A M , B) est une forme linéaire sur a M et
n’appartient pas forcément à X
∗ (A M ). Toutefois, il existe un entier n ≥ 1 tel que
nα ∈ X
∗ (A M ). Pour a ∈ A M (F ) assez proche de 1, on peut définir α(a) de la façon
suivante. On choisit un entier n ≥ 1 tel que nα ∈ X
∗ (A M ), on écrit a = exp(H)
avec H ∈ a M (F ) proche de 0 et on pose α(a) = exp(
(nα)(H)
n
). Pour un élément